A1  ^0.10 Записав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\vec v$ через $\Omega$, $\vec\omega$, $r$ и $\vec R$.

A1. 1 Записана кинематическая связь из условия отсутствия проскальзывания\[\vec v=\Omega\hat z\times\vec R+\vec\omega\times\hat zr\]

0.10

A2  ^0.20 Записав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\vec a\equiv\dot{\vec v}$ через $\Omega$, $\vec v$, $r$, $m$ и $I$.

A2. 1 Взята производная по времени от кинематической связи\[\dot{\vec v}=\Omega\hat z\times\vec v+\frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt}\times(r\hat z)\]	0.10
A2. 2 Получено выражение для ускорения шарика\[\dot{\vec v}=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times\vec v\]	0.10

A3  ^0.20 Выразите скорость $\vec v$ через $\Omega$, $\vec R$, $\vec v_0$, $\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$.

A3. 1 Записан интеграл по времени от ускорения\[\vec v-\vec v_0=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times(\vec R-\vec R_0)\]	0.10
A3. 2 Получено выражение для скорости шарика\[\vec v=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times(\vec R-\vec R_0)+\vec v_0\]	0.10

A4  ^0.50 Запишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\vec v_0$ и $\vec R_0$.

A4. 1 Найден радиус траектории\[R_t=\frac{1+mr^2/I}\Omega v_0\]	0.20
A4. 2 Найдено положение центра траектории\[\vec R_c=\vec R_0+\frac{1+mr^2/I}{\Omega}\hat z\times\vec v_0\]	0.30

A5  ^0.50 Пусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$.

Через какое время шарик приблизится к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние?

A5. 1 Найдено время возвращения в исходную точку в общем случае\[t=\frac{14\pi}\Omega\]	0.20
A5. 2 Найдено время возвращения в исходную точку в случае, описанном в задаче\[t=\frac{14\pi}{9\Omega}\]	0.30

B1  ^0.20 Выразите скорость $\vec v$ и ускорение $\dot{\vec v}$ шарика через $\Omega$, $\vec R$, $\Omega_0$, $\vec R_0$, $\dot\Omega$, $r$, $m$ и $I$.

B1. 1 Получено выражение для скорости\[\vec v=\frac I{I+mr^2}\hat z\times\left(\Omega\vec R-\Omega_0\vec R_0\right)+\vec v_0\]	0.10
B1. 2 Получено выражения для ускорения\[\dot{\vec v}=\frac I{I+mr^2}\hat z\times\left(\dot\Omega(t)\vec R-\Omega\vec v\right)\]	0.10

B2  ^0.60 Выразите модуль углового ускорения диска $\dot\Omega$ через $\Omega$, $\Omega_0$, $\vec R$, $\vec R_0$, $\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\alpha$ и $\delta$, определённые в начале задачи.

B2. 1 Угловое ускорение диска выражено через скорость и положение шарика\[I_d\dot\Omega=-\frac{mI}{I+mr^2}\left(\dot\Omega R^2+\Omega\left(\vec v\cdot\vec R\right)\right)\]	0.30
B2. 2 Угловое ускорение диска выражено через положение шарика\[\dot\Omega=-\frac{\alpha\Omega/r^2~\left(\vec c\cdot\vec R\right)}{\delta+\alpha},\quad\vec c=\vec v_0-\alpha\Omega\hat z\times\vec R_0\]	0.30

B3  ^0.60 Выразите модуль угловой скорости диска $\Omega$ как функцию $R$, а также $\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$.

B3. 1 Найдено скалярное произведение координаты и скорости шарика\[\vec v\cdot\vec R=\vec R\cdot\vec c\]	0.30
B3. 2 В результате интегрирования получена зависимость угловой скорости диска от положения шарика\[\Omega=\Omega_0\sqrt\frac{\delta+\alpha R_0^2/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}\]	0.30

B4  ^0.10 Из результатов пункта B3 получите выражение для максимально возможной $\Omega$ при заданных $\Omega_0$ и $R_0$.

B4. 1 Найдено максимальное значение угловой скорости диска\[\Omega_\mathrm{max}=\Omega_0\sqrt{1+\frac{\alpha R_0^2}{\delta r^2}}\]

0.10

B5  ^2.50 Запишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\hat zL$.

Скорость шарика $\vec v$, полученную в пункте B1, можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\vec c$.

Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\hat z\times\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\Omega$ через $L$, $\vec R$, $\vec c$, $\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$.

Добавив к этому результат пункта B3, запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\vec c$.

Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую.

Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика.

B5. 1 Найдена угловая скорости диска из закона сохранения момента импульса\[\Omega=\frac{L-m\hat z\cdot\left(\vec R\times\vec c\right)}{I_d+\alpha mR^2}\]	0.50
B5. 2 Найдена угловая скорость диска в системе координат $xyz$\[\Omega=\frac{L/mr^2+cy/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}\]	0.50
B5. 3 Получено уравнение траектории\[k\alpha^2x^2+(k\alpha^2-c^2)y^2-2\lambda cy=\lambda^2-k\alpha\delta r^2,\quad k=\Omega_0^2(\delta r^2+\alpha R_0^2),\quad\lambda=L/m\]	0.90
B5. 4 Корректно перечислены возможные траектории шарика: Эллипс при $k\alpha^2 > c^2$ Парабола $k\alpha^2 = c^2$ Гипербола $k\alpha^2 < c^2$	0.60

C1  ^0.50 Запишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\vec\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\vec\omega$ и $\vec B$.

C1. 1 Записаны второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса\begin{cases}m\dot{\vec v}=\vec F_f+Q\vec v\times\vec B\\I\dot{\vec\omega}=-r\hat z\times\vec F_f+\vec\tau_s\end{cases}	0.20
C1. 2 Получено выражение для момента сил, действующего на шарик из-за его вращения\[\vec\tau_s=\frac{Qr^2}3\vec\omega\times\vec B\]	0.30

C2  ^0.50 Используя результат пункта C1, выразите линейное ускорение шарика в лабораторной системе отсчёта через $Q$, $r$, $\vec\omega$ и $\vec B$.

C2. 1 Получена формула для ускорения шарика\[(I+mr^2)\dot{\vec v}=\left(\frac{4Qr^2B}{3}-I\Omega\right)\vec v\times\hat z-\frac{Qr^2B}{3}\Omega\vec R\]	0.20
C2. 2 Получено дифференциальное уравнение второго порядка на $\vec R$\[\frac{\mathrm d^2\vec R}{\mathrm dt^2}-\gamma\frac{\mathrm d\vec R}{\mathrm dt}\times\hat z+\beta\vec R=0,\quad\beta=\frac{Qr^2B}{3(I+mr^2)},\quad\gamma=\frac{4\beta}{\Omega}-\alpha\Omega\]	0.30

C3  ^1.00 Уравнение для линейного ускорения, полученное в пункте C.2, представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\vec R$ вида:
\begin{equation*}\frac{d^2\vec R}{dt^2}-\gamma \frac{d\vec R}{dt}\times \hat z+\beta \vec R = 0.\end{equation*}
Выразите постоянные $\gamma$ и $\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\Omega$.

Перейдите от компонент $\vec R$ к полярным координатам:
$$\begin{cases} x(t)=\rho(t)\cos(\eta(t)),\\y(t)=\rho(t)\sin(\eta(t)),\end{cases}$$
и получите систему уравнений на $\rho(t)$ и $\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше.

Полярный угол $\eta(t)$ представляет собой некоторую функцию времени. Найдите вид этой функции.

Выразите коэффициент $\beta'$ при $\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\rho(t)$ через $\gamma$ и $\beta$.

Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д.

C3. 1 Корректно совершён переход к полярным координатам\[\begin{cases}\ddot\rho+(\beta-\gamma\dot\eta-\dot\eta^2)\rho=0\\\dot\rho(\gamma+2\dot\eta)=0\end{cases}\]	0.50
C3. 2 Получен вид функции $\eta(t)=-\frac\gamma2t+\phi$ и выражение для $\beta'=\beta+\gamma^2/4$	0.30
C3. 3 Описаны условия для различного поведения $\rho(t)$: $\beta' > 0$ — гармоническое движение $\beta' < 0$ — экспоненциальное удаление $\beta' = 0$ — линейное удаление	0.20

C4  ^0.90 Рассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в С3:

$x(0)=1~$м, $y=0~$м, $v_x(0)=\dot x|_{t=0}=1~$м/с , $v_y(0)=\dot y|_{t=0}=-1~$м/с.

Найдите $\beta$ и $\gamma$, соответствующие этим начальным условиям. Найдите отсюда соответствующую $\Omega$.

Схематично изобразите траекторию шарика.

Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда.

C4. 1 Найдена траектория шарика, соответствующая начальным условиям\[\begin{cases}x(t)=(1+t)\cos t\\y(t)=-(1+t)\sin t\end{cases}\]	0.50
C4. 2 Найдена угловая скорость диска\[\Omega=-11\pm\sqrt{77}\]	0.30
C4. 3 Найден знак заряда шарика «$-$»	0.10

C5  ^1.60 Рассмотрим решение, полученное в пункте C4. Если решение получено правильно, вектор $\vec R$ должен вращаться.

Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~$кг, а его радиус $r=1~$м, поэтому $I=1/10~$кг$\cdot$м${}^2$.

C5. 1 Найдено суммарное изменение кинетической энергии поступательного движения\[\Delta K=t^2/2\]	0.40
C5. 2 Найдено изменение кинетической энергии поступательного движения за оборот\[\Delta K_N=4\pi^2N\]	0.40
C5. 3 Найдено суммарное изменение кинетической энергии вращательного движения\[K_s=\frac I2\left(v^2+\Omega^2R^2+2|\Omega|vR\right)\]	0.30
C5. 4 Найдено изменение кинетической энергии вращательного движения за оборот\[\Delta K_s=\frac I2\left(v^2-v_0^2+\Omega^2(R^2-R_0^2)+2|\Omega|(vR-v_0R_0)\right)\]	0.30
C5. 5 Найдено суммарное изменение кинетической энергии\[\Delta E=\frac{t^2}2\left(\frac{(1+|\Omega|)^2}{11}+1\right)\\\Delta E_N=4\pi N\left(\frac{(1+|\Omega|)^2}{11}+1\right)\]	0.20