Logo
Logo

Шарик на вращающемся диске

Разбалловка

A1  0.10 Записав кинематическую связь, выразите скорость шарика $\vec v$ через $\Omega$, $\vec\omega$, $r$ и $\vec R$.

1 Записана кинематическая связь из условия отсутствия проскальзывания\[\vec v=\Omega\hat z\times\vec R+\vec\omega\times\hat zr\] 0.10
A2  0.20 Записав второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика, выразите ускорение шарика $\vec a\equiv\dot{\vec v}$ через $\Omega$, $\vec v$, $r$, $m$ и $I$.

1 Взята производная по времени от кинематической связи\[\dot{\vec v}=\Omega\hat z\times\vec v+\frac{\mathrm d\vec\omega}{\mathrm dt}\times(r\hat z)\] 0.10
2 Получено выражение для ускорения шарика\[\dot{\vec v}=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times\vec v\] 0.10
A3  0.20 Выразите скорость $\vec v$ через $\Omega$, $\vec R$, $\vec v_0$, $\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$.

1 Записан интеграл по времени от ускорения\[\vec v-\vec v_0=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times(\vec R-\vec R_0)\] 0.10
2 Получено выражение для скорости шарика\[\vec v=\frac\Omega{1+mr^2/I}\hat z\times(\vec R-\vec R_0)+\vec v_0\] 0.10
A4  0.50 Запишите явное выражение для траектории шарика с начальными условиями $\vec v_0$ и $\vec R_0$.

1 Найден радиус траектории\[R_t=\frac{1+mr^2/I}\Omega v_0\] 0.20
2 Найдено положение центра траектории\[\vec R_c=\vec R_0+\frac{1+mr^2/I}{\Omega}\hat z\times\vec v_0\] 0.30
A5  0.50 Пусть теперь шарик однороден, т.е. $I=2mr^2/5$. Траектория, найденная в предыдущем пункте, представляет собой круг радиусом $R_t$. Пусть начальные условия подобраны так, что этот радиус равен $R_0$. Каково минимально возможное время, необходимое шарику для того, чтобы его центр приблизился к своему исходному положению на диске (в момент времени $t=0$) на минимальное расстояние? Направление начальной скорости шарика может быть выбрано произвольным образом.

1 Найдено время возвращения в исходную точку в общем случае\[t=\frac{14\pi}\Omega\] 0.20
2 Найдено время возвращения в исходную точку в случае, описанном в задаче\[t=\frac{14\pi}{9\Omega}\] 0.30
B1  0.20 Выразите скорость $\vec v$ шарика через $\vec{v}_0$, $\Omega$, $\vec R$, $\Omega_0$, $\vec R_0$, $r$, $m$ и $I$. Выразите ускорение $\dot{\vec v}$ шарика через через $\Omega$, $\vec R$, $\dot\Omega$, $\vec{v}$, $r$, $m$ и $I$.

1 Получено выражение для скорости\[\vec v=\frac I{I+mr^2}\hat z\times\left(\Omega\vec R-\Omega_0\vec R_0\right)+\vec v_0\] 0.10
2 Получено выражения для ускорения\[\dot{\vec v}=\frac I{I+mr^2}\hat z\times\left(\dot\Omega(t)\vec R+\Omega\vec v\right)\] 0.10
B2  0.60 Выразите модуль углового ускорения диска $\dot\Omega$ через $\Omega$, $\Omega_0$, $\vec R$, $\vec R_0$, $\vec v_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. В ответе могут присутствовать величины $\alpha$ и $\delta$, определённые в начале задачи.

1 Угловое ускорение диска выражено через скорость и положение шарика\[I_d\dot\Omega=-\frac{mI}{I+mr^2}\left(\dot\Omega R^2+\Omega\left(\vec v\cdot\vec R\right)\right)\] 0.30
2 Угловое ускорение диска выражено через положение шарика\[\dot\Omega=-\frac{\alpha\Omega\left(\vec c\cdot\vec R\right)}{\delta r^2+\alpha R^2},\quad\vec c=\vec v_0-\alpha\Omega_0\hat z\times\vec R_0\] 0.30
B3  0.60 Выразите модуль угловой скорости диска $\Omega$ как функцию $R$, а также $\Omega_0$, $R_0$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$.

1 Найдено скалярное произведение координаты и скорости шарика\[\vec v\cdot\vec R=\vec R\cdot\vec c\] 0.30
2 В результате интегрирования получена зависимость угловой скорости диска от положения шарика\[\Omega=\Omega_0\sqrt\frac{\delta+\alpha R_0^2/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}\] 0.30
B4  0.10 Из результатов пункта B3 получите выражение для максимально возможной $\Omega$ при заданных $\Omega_0$ и $R_0$.

1 Найдено максимальное значение угловой скорости диска\[\Omega_\mathrm{max}=\Omega_0\sqrt{1+\frac{\alpha R_0^2}{\delta r^2}}\] 0.10
B5  2.50 Запишите выражение для вертикальной компоненты момента импульса $\hat zM_z$ всей системы. Некоторые слагаемые в этом выражении — постоянные величины. Вычтя их из $\hat zM_z$, обозначьте оставшееся выражение как $\hat zL$. Скорость шарика $\vec v$, полученную в пункте B1, можно записать как сумму постоянного вектора и слагаемого, зависящего от $\vec R$. Обозначьте этот постоянный вектор как $\vec c$. Выберем направление оси $x$ вдоль вектора $\vec{c}$, а направление оси $y$ — вдоль вектора $\hat z\times\vec c$. В этой системе отсчёта выразите $\Omega$ через $L$, $\vec R$, $\vec c$, $\hat z$, $R^2$, $r$, $m$, $I$ и $I_d$. Добавив к этому результат пункта B3, запишите уравнение, связывающее величины $R^2$ и $y$ с помощью $L$, $r$, $m$, $I$, $c$ и $I_d$. Здесь $c$ — модуль $\vec c$. Подставив $R^2=x^2+y^2$, запишите выражение, содержащее $x$ и $y$, которое описывает некоторую кривую. Отсюда найдите и перечислите все возможные типы траекторий шарика. При анализе видов траекторий вы можете использовать любые введённые величины.

1 Найдена угловая скорости диска из закона сохранения момента импульса\[\Omega=\frac{L-m\hat z\cdot\left(\vec R\times\vec c\right)}{I_d+\alpha mR^2}\] 0.50
2 Найдена угловая скорость диска в системе координат $xyz$\[\Omega=\frac{L/mr^2+cy/r^2}{\delta+\alpha R^2/r^2}\] 0.50
3 Получено уравнение траектории\[k\alpha^2x^2+(k\alpha^2-c^2)y^2-2\lambda cy=\lambda^2-k\alpha\delta r^2,\quad k=\Omega_0^2(\delta r^2+\alpha R_0^2),\quad\lambda=L/m\] 0.90
4

Корректно перечислены возможные траектории шарика:

  • Эллипс при $k\alpha^2 > c^2$
  • Парабола $k\alpha^2 = c^2$
  • Гипербола $k\alpha^2 < c^2$
0.60
C1  0.50 Запишите второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса относительно центра шарика. Выразите момент сил $\vec\tau_s$, действующий на шарик из-за его вращения, через $Q$, $r$, $\vec\omega$ и $\vec B$.

1 Записаны второй закон Ньютона и закон изменения момента импульса\begin{cases}m\dot{\vec v}=\vec F_f+Q\vec v\times\vec B\\I\dot{\vec\omega}=-r\hat z\times\vec F_f+\vec\tau_s\end{cases} 0.20
2 Получено выражение для момента сил, действующего на шарик из-за его вращения\[\vec\tau_s=\frac{Qr^2}3\vec\omega\times\vec B\] 0.30
C2  0.50 Уравнение для линейного ускорения представляет собой дифференциальное уравнение второго порядка на $\vec R$ вида: \begin{equation*}\frac{d^2\vec R}{dt^2}-\gamma \frac{d\vec R}{dt}\times \hat z+\beta \vec R = 0.\end{equation*} Выразите постоянные $\gamma$ и $\beta$ через $Q$, $r$, $B$, $I$, $m$, $\Omega$.

1 Получена формула для ускорения шарика\[(I+mr^2)\dot{\vec v}=\left(\frac{4Qr^2B}{3}-I\Omega\right)\vec v\times\hat z-\frac{Qr^2B}{3}\Omega\vec R\] 0.20
2 Получено дифференциальное уравнение второго порядка на $\vec R$\[\frac{\mathrm d^2\vec R}{\mathrm dt^2}-\gamma\frac{\mathrm d\vec R}{\mathrm dt}\times\hat z+\beta\vec R=0,\quad\beta=\frac{Qr^2B\Omega}{3(I+mr^2)},\quad\gamma=\frac{4\beta}{\Omega}-\alpha\Omega\] 0.30
C3  1.00 Перейдите от компонент $\vec R$ к полярным координатам: $$\begin{cases} x(t)=\rho(t)\cos(\eta(t)),\\y(t)=\rho(t)\sin(\eta(t)),\end{cases}$$ и получите систему уравнений на $\rho(t)$ и $\eta(t)$, эквивалентную уравнению выше. Далее считайте, что полярный угол $\eta(t)$ представляет собой некоторую линейную функцию времени. Найдите вид этой функции, считая, что $\eta(0)=\eta_0$. Выразите коэффициент $\beta'$ при $\rho(t)$ в полученном вами уравнении на $\rho(t)$ через $\gamma$ и $\beta$. Запишите условия, при которых реализуются различные характерные зависимости $\rho(t)$: гармоническая, экспоненциальная и т.д.

1 Корректно совершён переход к полярным координатам\[\begin{cases}\ddot\rho+(\beta-\gamma\dot\eta-\dot\eta^2)\rho=0\\\rho\ddot{\eta}+\dot\rho(\gamma+2\dot\eta)=0\end{cases}\] 0.50
2 Получен вид функции $\eta(t)=-\frac\gamma2t+\phi$ и выражение для $\beta'=\beta+\gamma^2/4$ 0.30
3

Описаны условия для различного поведения $\rho(t)$:

  • $\beta' > 0$ — гармоническое движение
  • $\beta' < 0$ — экспоненциальное удаление
  • $\beta' = 0$ — линейное удаление
0.20
C4  0.90 Рассмотрим следующие начальные условия для решения, найденного в С3: $x(0)=1~$м, $y=0~$м, $v_x(0)=\dot x|_{t=0}=1~$м/с , $v_y(0)=\dot y|_{t=0}=-1~$м/с. Для $\beta'=0$ найдите $\beta$ и $\gamma$, соответствующие этим начальным условиям, а также зависимости $x(t)$ и $y(t)$. Найдите отсюда соответствующую $\Omega$. Схематично изобразите траекторию шарика. Как заряжена поверхность шарика: положительно или отрицательно? Запишите в листах ответов «$-$» в случае отрицательного и «$+$» в случае положительного заряда.

1 Найдена траектория шарика, соответствующая начальным условиям\[\begin{cases}x(t)=(1+t/с)\cos (t/c)~м\\y(t)=-(1+t/с)\sin (t/c)~м\end{cases}\] 0.50
2 Найдена угловая скорость диска\[\Omega=(-11\pm\sqrt{77})~с^{-1}\] 0.30
3 Найден знак заряда шарика «$+$» 0.10
C5  1.60 Рассмотрим решение, полученное в пункте C4. Если решение получено правильно, вектор $\vec R$ должен вращаться. Получите выражения для изменения энергии системы за время $t$ и за один оборот после $N\gg1$ оборотов. Членами малыми по сравнению с $N$ можно пренебречь. В этом пункте можно считать, что масса шарика $m=1~$кг, а его радиус $r=1~$м, поэтому $I=1/10~$кг$\cdot$м${}^2$.

1 Найдено суммарное изменение кинетической энергии поступательного движения\[\Delta K=t^2/2\] 0.40
2 Найдено изменение кинетической энергии поступательного движения за оборот\[\Delta K_N=4\pi^2N\] 0.40
3 Найдено суммарное изменение кинетической энергии вращательного движения\[K_s=\frac I2\left(v^2+\Omega^2R^2+2|\Omega|vR\right)\] 0.30
4 Найдено изменение кинетической энергии вращательного движения за оборот\[\Delta K_s=\frac I2\left(v^2-v_0^2+\Omega^2(R^2-R_0^2)+2|\Omega|(vR-v_0R_0)\right)\] 0.30
5 Найдено суммарное изменение кинетической энергии\[\Delta E=\frac{t^2}2\left(\frac{(1+|\Omega|)^2}{11}+1\right)\\\Delta E_N=4\pi N\left(\frac{(1+|\Omega|)^2}{11}+1\right)\] 0.20