| A1. 1 Закон Ньютона для движения по окружности | 0.10 |
|
|
A1. 2
$ T = 2\pi \sqrt{\dfrac{a^3}{G M_S}}, $ |
0.10 |
|
| A1. 3 $T = 0.24 ~\text{года}$ | 0.10 |
|
|
A1. 4
$ L= m v a = m \sqrt{G M_S a}. $ |
0.10 |
|
|
A2. 1
$ g_z = - \dfrac{G M z }{R^3} $ |
0.10 |
|
| A2. 2 Правильный знак (если модуль верен) | 0.10 |
|
| A3. 1 Выбрана разумная поверхность для применения теоремы Гаусса | 0.20 |
|
| A3. 2 Записан поток $\vec{g}$ | 0.10 |
|
| A3. 3 $g_r = +\dfrac{G M r }{ 2 R^3}$ | 0.10 |
|
| A3. 4 Верный знак (если модуль верен) | 0.10 |
|
|
A4. 1
Потенциальная энергия взаимодействия с кольцом $ - \dfrac{GM m}{4 R^3}r^2. $ |
0.20 |
|
| A4. 2 Потенциальная энергия взаимодействия с Солнцем $- GM_S m/r$ | 0.10 |
|
| A4. 3 Ошибка в знаке или в численном коэффициенте | -0.10 |
|
|
B1. 1
$ L = m r^2 \dfrac{d\theta}{dt}. $ |
0.10 |
|
|
B1. 2
$ \dfrac{dr}{dt} = - \dfrac{L}{m} u' $ |
0.20 |
|
| B1. 3 Верные знак (только при наличии верного ответа) | 0.10 |
|
| B2. 1 Записан вклад радиального движения в кинетическую энергию $\dfrac{L^2}{2 m} u^{\prime 2} $ | 0.15 |
|
| B2. 2 Записан вклад углового движения в кинетическую энергию $\dfrac{L^2}{2 m} u^2 $ | 0.15 |
|
| B2. 3 Записана потенциальная энергия | 0.10 |
|
| B3. 1 Корректно продифференцирована кинетическая энергия | 0.20 |
|
| B3. 2 Корректно продифференцирована потенциальная энергия | 0.20 |
|
|
B3. 3
$$ u'' = - u + \frac{G M_S m^2 }{L^2} - \dfrac{GM m^2}{2 R^3 L^2} \frac{1}{u^3} $$ |
0.20 |
|
| C1. 1 Использовано $u'' = 0$ | 0.10 |
|
| C1. 2 Подставлено $u = 1/a$ | 0.10 |
|
|
C1. 3
$$ - \frac{1}{a} + \frac{G M_S m^2 }{L^2}- \frac{GM m^2}{2 R^3 L^2} a^3 = 0 $$ |
0.10 |
|
| C2. 1 Сократились не зависящие от $\delta u$ слагаемые | 0.20 |
|
|
C2. 2
$$ \delta u'' = - \left( 1 - \frac{3 G M m^2}{2 R^3 L^2} a^4\right) \delta u $$ |
0.40 |
|
| C2. 3 Ошибка в знаке или численном коэффициенте | -0.20 |
|
| C3. 1 Решение вида $u = A \cos (\theta - \theta_0)$ | 0.10 |
|
| C3. 2 Правильная начальная фаза: $u = A \cos \theta$ | 0.10 |
|
| C3. 3 $A = e/a$ | 0.10 |
|
| C3. 4 Явно указано, что функция периодичная с периодом $2\pi$ | 0.20 |
|
| C4. 1 Подставлено правильное значение $L$ | 0.10 |
|
|
C4. 2
$$ \delta u = \frac{e}{a} \cos \left( \theta\sqrt{1 - \frac{3 M a^3 }{2 M_S R^3 } }\right) $$ |
0.30 |
|
| C4. 3 Правильная начальная фаза ($\theta_0 = 0$) | 0.10 |
|
|
C5. 1
Использовано выражение для максимумов вида (или его приближенный аналог)$$ \theta = \frac{2\pi n}{\sqrt{1 - \dfrac{3 M a^3 }{2 M_S R^3 }} }. $$ |
0.10 |
|
|
C5. 2
$$ \delta \theta = \frac{3 \pi }{2} \frac{M a^3}{M_S R^3} $$ |
0.20 |
|
| C5. 3 Ошибка в знаке или в численном коэффициенте | -0.10 |
|
| C5. 4 Указано, что направление смещения совпадает с направлением движения Меркурия | 0.20 |
|
С6. 1
|
7 × 0.07 |
|
||||||||||||||||
| С6. 2 Если значения не в угловых секундах | -0.10 |
|
||||||||||||||||
| С6. 3 Указаны Венера и Юпитер (засчитывается, только если обе планеты выбраны правильно) | 0.21 |
|
| C7. 2 $\Delta \theta = 391'' \text{ за столетие}$ (оценивается только правильное значение, независимо от ошибок в предыдущих пунктах) | 0.30 |
|
|
D1. 1
$$ \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) = \vec{a} \times \vec{L} $$ |
0.10 |
|
| D1. 2 Второй закон Ньютона | 0.10 |
|
|
D1. 3
Использована векторная формула $ \vec{L} = m r^2 \vec{\omega}. $ или преобразование двойного векторного произведения или продифференцировано $\vec{e}_r$ |
0.20 |
|
| D1. 4 $B = - r^2 F_r$ | 0.20 |
|
| D1. 5 Правильный знак (если ответ правильный) | 0.20 |
|
|
D2. 1
Использовано выражение для $ F_r = - \dfrac{GM_S m}{r^2 } + \dfrac{GMm}{2 R^3} r. $ |
0.10 |
|
|
D2. 2
$$ \frac{d \vec{A}}{dt} = - \frac{GMm}{2 R^3} r^3\frac{d \vec{e}_r}{dt} $$ |
0.20 |
|
| D2. 3 Правильный знак (если ответ правильный) | 0.20 |
|
| D3. 1 Переход от производных по времени к производным по углу | 0.30 |
|
| D3. 2 Записаны проекции $\vec{e}_r$ на оси | 0.10 |
|
| D3. 3 Производные проекций $\vec{e}_r$ по углам | 0.10 |
|
|
D3. 4
$$ \frac{d A_x}{d\theta} = \frac{GMm}{2 R^3} r^3 \sin \theta, \quad \frac{d A_y}{d\theta} = - \frac{GMm}{2 R^3} r^3 \cos \theta $$ |
2 × 0.15 |
|
| D3. 5 Правильные знаки | 2 × 0.10 |
|
| D4. 1 Использовано уравнение эллиптической орбиты $r = p/(1 + e \cos \theta)$ | 0.20 |
|
| D4. 2 Выражение для параметра $p = a(1 - e^2)$ | 0.10 |
|
| D4. 3 Записаны интегралы для $\Delta A_x$, $\Delta A_y$ | 2 × 0.10 |
|
| D4. 4 Обосновано, что $\Delta A_x = 0$. | 0.20 |
|
| D4. 5 $$ \Delta A_y = \frac{3 \pi GM m a^3}{2 R^3} e(1- e^2)^{1/2}$$ | 0.20 |
|
| D4. 6 Правильный знак $\Delta A_y$ (если модуль верен) | 0.10 |
|
| D5. 1 $\Delta \theta = \Delta A_y/A$ | 0.10 |
|
|
D5. 2
$$ \Delta \theta = \frac{3\pi }{2} \frac{M a^3}{M_S R^3} (1 - e^2)^{1/2}. $$ |
0.30 |
|
| D5. 3 Смещение перигелия меньше на $2 \text{%}$ | 0.10 |
|