При движении по окружности $$ \frac{m v^2}{a} = \frac{GM_S m}{a^2}, \quad v = \sqrt{\frac{G M_S}{a}}, $$ откуда период движения $$ T = \frac{2 \pi a}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{G M_S}}, $$ а момент импульса $$ L= m v a = m \sqrt{G M_S a}. $$

Из соображений симметрии компоненты ускорения свободного падения, не направленные вдоль оси $z$, равны 0. Рассмотрим участок кольца массы $dM$. Он создает ускорение $dg = G dM/(R^2 + z^2) \approx GdM/R^2$, а его проекция на ось $z$ равна $dg_z = - dg /\sqrt{R^2 + z^2} \approx dg z/R = -G dM z/R^3$ (знак - означает, что поле направлено к центру кольца), поэтому

Внутри конца нет массивных тел, создающих гравитационное поле, поэтому поток вектора $\vec{g}$ через любую замкнутую поверхность равен нулю. В качестве такой поверхности выберем цилиндр радиуса $r$, ось которого совпадает с осью кольца, нижнее основание лежит в плоскости кольца, координата верхнего основания равна $z$. Поскольку $r \ll R$, можно считать, что во всех точках верхнего основания проекция $g_z$ совпадает со своим значением в центре. На нижнем основании $g_z = 0$, поскольку все массы находятся в плоскости кольца. Поскольку $z \ll r$, на всех точках боковой поверхности цилиндра радиальная составляющая равна своему значению $g_r$ в плоскости кольца. Окончательно, поток через цилиндр $$ \Phi_g = \pi r^2 g_z + 2\pi r z g_r = 0, $$ откуда $$ g_r = - \frac{r}{2z} g_z = +\frac{G M r }{ 2 R^3}. $$

Сила, действующая на Меркурий со стороны кольца, равна $$ F_r = m g_r = \frac{GMm}{2 R^3} r, $$ интегрируя найдем потенциальную энергию $$ V_1 = - \frac{GM m}{4 R^3}r^2. $$ К ней нужно добавить потенциальную энергию взаимодействия с Солнцем.

Выразим момент импульса через производную угла по времени $$ L = m r v_\theta = m r^2 \frac{d\theta}{dt}. $$ Тогда $$ \frac{dr}{dt} = \frac{d r}{d \theta} \frac{d \theta}{dt} = \frac{L}{m r^2} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{1}{u}\right) = - \frac{L u^2}{m} \frac{1}{u^2} \frac{du}{d\theta} = - \frac{L}{m} u'. $$

Кинетическая энергия $$ T = \frac{m v^2}{2} = \frac{m \dot{r}^2}{2 } + \frac{m v_\theta^2}{2} = \frac{L^2}{2 m} u^{\prime 2} + \frac{L^2}{2 m r^2}, $$ $$ T = \frac{L^2}{2 m} (u^{\prime 2} + u^2). $$ К ней нужно добавить потенциальную энергию $V(r) = V(1/u)$.

Подставим выражение для потенциальной энергии: $$ E = \frac{L^2}{2 m} (u^{\prime 2} + u^2) - \frac{GM m}{4 R^3}\frac{1}{u^2} - GM_S m u. $$ Дифференцируя, получим $$ E' = 0 = \frac{L^2}{m} (u' u'' + u u') + \frac{G M m}{2 R^3} \frac{u'}{u^3} - G M_S m u'. $$ Сокращая на $u'$ (поскольку в общем случае $u' = 0$ не является решением уравнений движения), найдем

При движении по круговой орбите $u'' = 0$. Подставляя $u = 1/a$, получим уравнение на радиус орбиты.

Подставим в уравнение $u = u_0 + \delta u$ и разложим до первого порядка по $\delta u$: $$ \delta u '' = - u_0 - \delta u+ \frac{G M_S m^2 }{L^2} - \frac{GM m^2}{2 R^3 L^2} \left(\frac{1}{u_0^3} - \frac{3 \delta u}{u_0^4} \right). $$ Не зависящие от $\delta u$ слагаемые сокращаются в силу уравнения из предыдущего пункта. Подставляя $u_0 = 1/a$, получим

Полю кольца отвечает слагаемое, содержащее $M$. Отбросив его, получим $$ \delta u '' = - \delta u. $$ Отметим, что это уравнение является точным, поскольку если пренебречь вкладом кольца, уравнение на $u$ будет линейным. Его решение, максимальное при $\theta = 0$, имеет вид $$ \delta u = A \cos \theta, \quad A > 0. $$ Тогда полное решение $$ u = \frac{1}{a} \left(1 + a A \cos \theta \right) = \frac{1}{a} \left(1 + e \cos \theta \right), $$ поэтому коэффициент перед косинусом $$ A = \frac{e}{a}. $$ Поскольку $u(\theta) = u(\theta + 2\pi)$, орбита замкнута.

Подставим в уравнение из C2 выражение для момента импульса $$ \delta u'' = - \left(1 -\frac{3 G M m^2 a^4}{2 R^3 m^2 G M_S a} \right) \delta u = - \left(1 -\frac{3 M a^3 }{2 M_S R^3 } \ \right) \delta u. $$ Его решение имеет вид

Меркурий оказывается в перигелии (т.е. его расстояние до Солнца минимально), когда величина $u$ максимальна, то есть $$ \theta = \frac{2\pi n}{\sqrt{1 - \dfrac{3 M a^3 }{2 M_S R^3 }} }. $$ В частности, изменение положения перигелия за один оборот $$ \delta \theta = \frac{2\pi }{\sqrt{1 - \dfrac{3 M a^3 }{2 M_S R^3 }} } - 2\pi \approx 2\pi \left( 1 + \dfrac{3 M a^3 }{4 M_S R^3 }\right) - 2\pi = \frac{3 \pi }{2} \frac{M a^3}{M_S R^3}. $$ Поскольку $\delta \theta > 0$, то есть перигелий отстоит от предыдущего на угол больше $2\pi$, направление поворота перигелия совпадает с направлением движения Меркурия.

В первом приближении можно считать, что вклады всех планет складываются. Для того, чтобы получить смещение за столетие, умножим суммарный вклад всех планет на $100/T$, где $T$ – период Меркурия в годах, получим

Отметим, что полученное значение $\Delta \theta$ отличается от точного предсказания Ньютоновской механики для прецессии орбиты. Это связано с тем, что мы не учитывали следующие порядки в разложении потенциала планет (радиус Венеры всего в 2 раза больше орбиты Меркурия, поэтому первого члена разложения явно недостаточно). Кроме этого, нужно учитывать эллиптичность орбит и то, что они не лежат в одной плоскости. Точное предсказание классической механики $\Delta \theta = 532 ''$ за столетие.

Используем второй закон Ньютона $$ m \vec{a} = m \frac{d}{dt} \vec{v} = \vec{F} = F_r \vec{e}_r, $$ а также выражение для момента импульса через угловую скорость Меркурия $$ \vec{L} = m r^2 \vec{\omega}. $$ Тогда требуемая производная $$ \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) = \vec{a} \times \vec{L} = \frac{F_r}{m} \vec{e}_r \times m r^2 \vec{\omega}= - r^2F_r \vec{\omega} \times \vec{e}_r = - r^2 F_r \frac{d \vec{e}_r}{dt}. $$ Тот же результат можно получить и более прямолинейным вычислением $$ \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) = \frac{F_r}{m} \vec{e}_r \times \vec{L} = \frac{F_r}{m} \vec{e}_r \times m \left[\vec{r} \times \vec{v} \right]. $$ Раскрывая двойное векторное произведение, получим $$ \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) = F_r \left(\vec{r} (\vec{e}_r \vec{v}) - \vec{v} (\vec{r} \vec{e}_r) \right)= F_r \left( \frac{(\vec{r} \vec{v}) \vec{r}}{r} - r \vec{v}\right) = F_r r^2\left( \frac{(\vec{r} \vec{v}) \vec{r}}{r^3} - \frac{\vec{v}}{r}\right) . $$ Найдем теперь производную $\vec{e}_r$: $$ \frac{d}{dt} \vec{e}_r = \frac{d}{dt} \left( \frac{\vec{r}}{r}\right) = \frac{\vec{v}}{r} - \vec{r} \frac{1}{r^2} \frac{d r}{dt} = \frac{\vec{v}}{r} - \frac{\vec{r} (\vec{v} \vec{r})}{r^3}. $$ Сравнивая эти выражения, возвращаемся к тому же результату

Используя соотношение из предыдущего пункта, продифференцируем вектор Лапласа и получим $$ \frac{d \vec{A}}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \vec{v} \times \vec{L}\right) - G M_S m \frac{d \vec{e}_r}{dt} = \left( -r^2 F_r - G M_S m\right) \frac{d \vec{e}_r}{dt}. $$ Сила, действующая на Меркурий, равна $$ F_r = - \frac{GM_S m}{r^2 } + \frac{GMm}{2 R^3} r. $$ Первое слагаемое в силе сокращается с вторым слагаемым из определения вектора Лапласа. Поэтому при движении под действием притяжения к Солнцу вектор Лапласа сохраняется. С учетом кольца получаем

Из предыдущего результата следует $$ d \vec{A} = - \frac{GMm}{2 R^3} r^3 d \vec{e}_r, $$ дифференцируя по углу, получим $$ \frac{d \vec{A}}{d\theta} = - \frac{GMm}{2 R^3} r^3\frac{d \vec{e}_r}{d\theta}. $$ Проекции единичного вектора $\vec{e}_r$ на координатные оси $$ e_{rx} = \cos \theta, \quad e_{r y} = \sin \theta, $$ а их производные $$ \frac{d e_{rx}}{d\theta} = - \sin\theta, \quad \frac{d e_{ry}}{d\theta} = \cos \theta. $$ Тогда для вектора Лапласа

При движении по эллиптической орбите $$ r = \frac{p} {1 + e \cos \theta}, $$ где $p = a(1 - e^2)$ – параметр эллипса. Тогда производные компонент вектора Лапласа имеют вид $$ \frac{d A_x}{d\theta} = \frac{GMm}{2 R^3} \frac{p^3}{(1 + e\cos \theta)^3} \sin \theta, \quad \frac{d A_y}{d\theta} = - \frac{GMm}{2 R^3} \frac{p^3}{(1 + e\cos \theta)^3} \cos \theta. $$ Интегрируя по углу от $0$ до $2 \pi $ (или что то же самое, от $-\pi$ до $\pi$, поскольку функции периодичные), получим изменение вектора Лапласа за период: $$ \Delta A_x = \frac{GM mp^3}{2 R^3} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin \theta \, d \theta}{(1 + e \cos \theta)^3} = 0, $$ поскольку функция под интегралом нечетная, $$ \Delta A_y =- \frac{GM mp^3}{2 R^3} \int_{0}^{2 \pi} \frac{\cos \theta \, d \theta}{(1 + e \cos \theta)^3} = \frac{GM mp^3}{2 R^3} \frac{3 \pi e}{(1- e^2)^{5/2}}. $$ Здесь использовался интеграл из условия. Подставляя формулу для параметра, получим

Вектор Лапласа направлен вдоль оси $x$, поэтому изменение вектора Лапласа перпендикулярно ему. Значит в первом приближении его длина не меняется, а он сам поворачивается на угол $$ \Delta \theta = \frac{\Delta A_y}{A} = \frac{3\pi }{2} \frac{M a^3}{M_S R^3} (1 - e^2)^{1/2}. $$ Поскольку вектор Лапласа направлен к перигелию, его угол поворота равен смещению перигелия. Точный ответ отличается от приближенного ответа из части C только множителем $(1 - e^2)^{1/2} \approx 1 - e^2/2$. Из-за этой поправки ответ уменьшится на $e^2/2 \approx 0.02 = 2\text{%}$.