a  ^1.00 Спутник массы $m$ изначально вращается вокруг Земли массы $M$ по круговой орбите радиуса $R_0$. Чему равна скорость $u_0$ спутника, выраженная через $M$, $R_0$ и универсальную гравитационную постоянную $G$?

Запишем условие равномерного движения по окружности:
\[\frac{m u_{0}^{2}}{R_{0}} = \frac{G M m}{R_{0}^{2}}, \qquad u_{0} = \sqrt{\frac{G M}{R_{0}}}\]

b  ^2.00 Мы решили запустить спутник по траектории, которая доставит его в точку $P$ на расстоянии $R_1$ от центра Земли (см. рис.), увеличив (почти мгновенно) скорость спутника в точке $Q$ с $u_0$ до $u_1$. Выразите значение $u_1$ через $u_0$, $R_0$ и $R_1$.

Закон сохранения момента импульса:
\[m u_{1} R_{0} = m u_{2} R_{1}\]Закон сохранения энергии:
\[\frac{1}{2} m u_{2}^{2} - \frac{G M m}{R_{1}} = \frac{1}{2} m u_{1}^{2} - \frac{G M m}{R_{0}}\]Комбинируя уравнения, записанные выше, получим:
\[\left[ \left( \frac{R_{0}}{R_{1}} \right)^{2} - 1 \right] u_{1}^{2} = 2 G M \left[ \frac{1}{R_{1}} - \frac{1}{R_{0}} \right]\]\[(R_{0} - R_{1}) (R_{0} + R_{1}) u_{1}^{2} = (2 G M) \frac{(R_{0} - R_{1})}{R_{0} R_{1}}\]Откуда следует:
\[u_{1} = \sqrt{\frac{G M}{R_{0}}} \sqrt{\frac{2 R_{1}}{R_{1} + R_{0}}} = u_{0} \sqrt{\frac{2 R_{1}}{R_{1} + R_{0}}}\]

c  ^1.00 Выразите через $u_0$ минимальное значение $u_1$, которое позволит спутнику полностью преодолеть земное притяжение.

Вторая космическая скорость:
\[\lim_{R_{1} \to \infty} u_{1} = \sqrt{2} u_{0}\]

d  ^1.00 (Для ситуации из пункта b) Чему равна скорость $u_2$ спутника в точке $P$, выраженная через $u_0$, $R_0$ и $R_1$?

Из ЗСМИ:

e  ^1.00 Теперь мы хотим изменить орбиту спутника в точке $P$ на круговую радиуса $R_1$, увеличив его скорость (почти мгновенно) с $u_2$ до $u_3$. Чему равно значение $u_3$, выраженное через $u_2$, $R_0$ и $R_1$?

Выразим скорость кругового движения и подставим результат предыдущего пункта:
\[u_3=\sqrt{\dfrac{GM}{R_1}}=u_0\sqrt{\dfrac{R_0}{R_1}}=u_2\sqrt{\dfrac{R_1+R_0}{2R_0}}\]

f  ^3.00 Пусть спутник незначительно и мгновенно возмутили в радиальном направлении так, что он отклонится от идеальной круговой орбиты радиуса $R_1$. Выведите период колебаний спутника $T$ по радиусу возле основного радиуса $R_1$.

Подсказка: Участники могут использовать (если необходимо) уравнение движения спутника по орбите: $$m\left[\frac{d^2}{d t^2} r-\left(\frac{d}{d t} \theta\right)^2 r\right]=-G \frac{M m}{r^2},$$

и закон сохранения момента импульса: $$mr^2 \frac{d}{dt}\theta = \operatorname{const}.$$

Комбинируя уравнения (1) и (2):

\[\dfrac{\mathrm d^{2} r}{\mathrm dt^{2}} - \dfrac{G M R_{1}}{r^{3}} = -\dfrac{GM}{r^{2}}\]Полагая \(r = R_{1} + \eta\), где \(|\eta| \ll R_{1}\):

\[\dfrac{\mathrm d^{2} \eta}{\mathrm dt^{2}} - \dfrac{G M R_{1}}{R_{1}^{3} \left(1 + \frac{\eta}{R_{1}}\right)^{3}} = - \dfrac{G M}{R_{1}^{2} \left(1 + \frac{\eta}{R_{1}}\right)^{2}}\]Используем разложение в ряд Тейлора \(\left(1 + \dfrac{\eta}{R_{1}}\right)^{-n} \approx 1 - n\dfrac{\eta}{R_{1}}\):


\[\dfrac{\mathrm d^{2} \eta}{\mathrm dt^{2}} + \dfrac{GM}{R_{1}^{3}} \eta = 0\]Период колебаний:
\[T = 2\pi \sqrt{\dfrac{R_{1}^{3}}{GM}}\]Заметим, что этот период совпадает с периодом обращения спутника вокруг Земли.

g  ^1.00 Изобразите схематически на одном рисунке две орбиты: возмущенную и невозмущенную.