| 1 Указано, что напряжённость электростатического поля вне шара представляет собой суперпозицию однородного поля, поля точечного заряда и поля диполя, расположенного в центре шара. | 0.20 |
|
| 2 Записано выражение для напряжённости поля диполя с дипольным моментом $\vec{p}$: $$\vec{E}=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{3\bigl(\vec{p}\cdot\vec{r}\bigr)\vec{r}}{r^5}-\cfrac{\vec{p}}{r^3}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Предложен метод определения дипольного момента шара. | 0.20 |
|
| 4 Определён дипольный момент шара: $$\vec{p}=4\pi R^3\varepsilon_0\vec{E}_0 $$ | 0.20 |
|
| 5 Получен ответ: $$\vec{E}=\vec{E}_0\left(1-\cfrac{R^3}{r^3}\right)+\cfrac{3\bigl(\vec{E}_0\cdot\vec{r}\bigr)\vec{r}}{r^2}\cfrac{R^3}{r^3}+\cfrac{Q\vec{r}}{4\pi\varepsilon_0r^3}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено выражение для $E_n$: $$E_n=\cfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R^2}+3E_0\cos\theta $$ | 0.40 |
|
| 1 Записано условие равенства нулю компоненты напряжённости $E_n$: $$Q=-12\pi\varepsilon_0R^2E_0\cos\theta{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Определён искомый диапазон $Q$: $$Q\in\bigl[-12\pi R^2\varepsilon_0E_0{;}12\pi R^2\varepsilon_0E_0\bigr]{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Определено значение угла $\theta_0$: $$\theta_0=\arccos\left(-\cfrac{Q}{12\pi R^2\varepsilon_0E_0}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Определён диапазон углов, соответствующий попаданию ионов (по $0{.}1$ балла за границу): Отрицательные ионы попадают на поверхность шара при $\theta\in[0{,}\theta_0]$; Положительные ионы попадают на поверхность шара при $\theta\in[\theta_0{,}\pi]$. | 4 × 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для компоненты $dQ_-/dt$, обусловленной попаданием отрицательных ионов: $$\cfrac{dQ_-}{dt}=-\sigma_-\int\limits_{0}^{\theta_0}\left(\cfrac{Q}{2\varepsilon_0}+6\pi R^2R_0\cos\theta\right)\sin\theta d\theta{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Вычислен интеграл для $dQ_-/dt$: $$\cfrac{dQ_-}{dt}=-\sigma_-\left(\cfrac{Q(1-\cos\theta_0)}{2\varepsilon_0}+3\pi R^2E_0\sin^2\theta_0\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Записано выражение для компоненты $dQ_+/dt$, обусловленной попаданием положительных ионов: $$\cfrac{dQ_+}{dt}=-\sigma_+\int\limits_{\theta_0}^{\pi}\left(\cfrac{Q}{2\varepsilon_0}+6\pi R^2E_0\cos\theta\right)\sin\theta d\theta{,} $$ | 0.20 |
|
| 4 Вычислен интеграл для $dQ_+/dt$: $$\cfrac{dQ_+}{dt}=-\sigma_+\left(\cfrac{Q(1+\cos\theta_0)}{2\varepsilon_0}-3\pi R^2E_0\sin^2\theta_0\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 5 Получен ответ для $dQ/dt$: $$\cfrac{dQ}{dt}=-\cfrac{Q(\sigma_++\sigma_-)}{2\varepsilon_0}+(\sigma_+-\sigma_-)\left(3\pi R^2E_0\sin^2\theta_0-\cfrac{Q\cos\theta_0}{2\varepsilon_0}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Подставлено значение $\theta_0$ и получено квадратное уравнение относительно $Q_0$: $$Q^2_0-Q_0\cfrac{24\pi R^2\varepsilon_0E_0(\sigma_++\sigma_-)}{(\sigma_+-\sigma_-)}+144\pi^2R^4\varepsilon^2_0E^2_0=0{.} $$ | 0.40 |
|
| 2 Правильно решено квадратное уравнение: $$Q_0=12\pi R^2\varepsilon_0E_0\left(\cfrac{\sqrt{\sigma_+}+\sqrt{\sigma_-}}{\sqrt{\sigma_+}-\sqrt{\sigma_-}}\right)^{\pm1}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Выбран нужный корень и получен ответ для $Q_0$: $$Q_0=12\pi R^2\varepsilon_0E_0\left(\cfrac{\sqrt{\sigma_+}-\sqrt{\sigma_-}}{\sqrt{\sigma_+}+\sqrt{\sigma_-}}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Для зависимости $\dot{Q}(Q)$ в виде: $$\dot{Q}=aQ^2-bQ+c $$ записано приближение: $$\dot{Q}=-(b-2aQ_0)\Delta{Q} $$ | 0.30 |
|
| 2 Определено значение $A$: $$A=-\cfrac{\sqrt{\sigma_+\sigma_-}}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.20 |
|
| 3 Для своего знака $A$ сделан вывод об устойчивости значения заряда $Q_0$. | 0.10 |
|
| 1 Для своего значения $A$ получено: $$\Delta{Q}(t)=\Delta{Q}_0e^{At} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для $\Delta{Q}(t)$ в следующем виде: $$\Delta{Q}(t)=\Delta{Q}_0\exp\left(-\cfrac{\sqrt{\sigma_+\sigma_-}t}{\varepsilon_0}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Показано, что компоненты напряжённости $E_x$ и $E_y$ в области пересечения равны нулю. | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для $\vec{E}$: $$\vec{E}=-\cfrac{\rho A\vec{l}}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Пункт оценивается при неправильном знаке в выражении для $\vec{E}$. | -0.10 |
|
| 1 Записана связь величины $\rho\vec{l}$ с вектором поляризации $\vec{P}$: $$\vec{P}=\rho\vec{l}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Выражение для $\vec{E}$ записано в виде: $$\vec{E}=-\cfrac{A\vec{P}}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ для $\vec{P}$: $$\vec{P}=-\cfrac{\varepsilon_0\vec{E}}{A}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получен ответ для $\vec{P}$: $$\vec{P}=\cfrac{\varepsilon_0\vec{E}_0}{A}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ для $\sigma_{max}$: $$\sigma_{max}=P{.} $$ | 0.20 |
|
| 1 Из теоремы Гаусса получено: $$E_n=\cfrac{\sigma}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Указано, что величина $E_n$ максимальна при максимальном значении $\sigma$. | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ для $E_{max}$: $$E_{max}=\cfrac{E_0}{A}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Указано, что изображение точечного диполя с дипольным моментом $\vec{p}$ представляет собой диполь с тем же дипольным моментом $\vec{p}$ и расположено на том же расстоянии от плоскости. | 0.10 |
|
| 2 В листах ответов приведено электростатическое изображение точечного диполя. | 0.10 |
|
| 3 Указано, что электростатическое изображение половины равномерно поляризованного эллипсоида дополняет его до целого. | 0.10 |
|
| 4 В листах ответов приведено электростатическое изображение половины равномерно поляризованного эллипсоида. | 0.10 |
|
| 1 Обосновано, что если половина эллипсоида поляризована равномерно, на плоской поверхности выполняются граничные условия. | 0.30 |
|
| 2 Рассчитана величина $E_{max}$: $$E_{max}\approx 7{.}4\cdot 10^{12}~\text{В}/\text{м}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Сделан вывод, что величины $E_0$ достаточно для пробоя воздуха. | 0.10 |
|
| 1 Записано условие равенства потенциала шара нулю: $$E_0h+\cfrac{q_0}{4\pi\varepsilon_0R_0}=0{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получен ответ для $q_0$: $$q_0=-4\pi\varepsilon_0R_0hE_0{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для силы тока $I$: $$I=-4\pi{R}^2_0\sigma_0E{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получено выражение для $E$: $$E=-\cfrac{E_0h}{R_0}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ для силы тока $I$: $$I=4\pi R_0h\sigma_0E_0{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Потенциал электростатического поля сферических поверхностей в центре шара составляет: $$\varphi_q+\varphi_{q_0}=\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{q_0}{R_0}+\cfrac{q}{R}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Получено правильное уравнение: $$E_0h+\cfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\cfrac{q_0}{R_0}+\cfrac{q}{R}\right)=0{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для $I_{in}$: $$I_{in}=-\cfrac{q_0\sigma}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано выражение для $I_{out}$: $$I_{out}=-\cfrac{(q_0+q)\sigma_0}{\varepsilon_0}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получено правильное уравнение: $$(q_0+q)\sigma_0=q_0\sigma{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получено выражение для $q_0$: $$q_0=-\cfrac{4\pi\varepsilon_0R_0hE_0}{1+\cfrac{R_0}{R}\left(\cfrac{\sigma}{\sigma_0}-1\right)}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено выражение для $I$: $$I=\cfrac{4\pi R_0h\sigma E_0}{1+\cfrac{R_0}{R}\left(\cfrac{\sigma}{\sigma_0}-1\right)}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Выражение для $I$ приведено к виду: $$I\approx 4\pi Rh\sigma_0E_0{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для $a$: $$a=\cfrac{eE}{m}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено выражение для $u$: $$u=\cfrac{eE\lambda}{2m\overline{v}_\text{т}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для средней мощность электростатического поля по перемещения одного электрона: $$\overline{P}=eEu $$ | 0.20 |
|
| 2 Записано выражение для $\Delta{W}$: $$\overline{\Delta{W}}=eEu\tau{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ для $\overline{\Delta{W}}$: $$\overline{\Delta{W}}=\cfrac{(eE\lambda)^2}{4W}{.} $$ К данному пункту применяется PEP от пункта $\mathrm{D1}$. | 0.10 |
|
| 1 Определена скорость молекулы воздуха в системе отсчёта центра масс: $$v'=v_C=\cfrac{mv}{m+M}{.} $$ | 0.20 |
|
| 2 Определена скорость молекулы воздуха в лабораторной системе отсчёта: $$v_M=2v_C\cos(\varphi/2){.} $$ | 0.30 |
|
| 3 Записано выражение для $\overline{\Delta{W}}$: $$\Delta W=\cfrac{Mm^2v^2}{4\pi(m+M)^2}\int\limits_{0}^{\pi}(1+\cos\varphi)\cdot 2\pi\sin\varphi d\varphi{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Вычислен интеграл для $\overline{\Delta{W}}$: $$\overline{\Delta{W}}=\cfrac{Mm^2v^2}{(m+M)^2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 5 Получено выражение для $\overline{\Delta{W}}/\overline{W}$: $$\cfrac{\overline{\Delta{W}}}{\overline{W}}=\cfrac{2Mm}{(M+m)^2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 6 Правильное приближение для $\overline{\Delta{W}}/\overline{W}$: $$\cfrac{\overline{\Delta{W}}}{\overline{W}}\approx\cfrac{2m}{M}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получен ответ для $\overline{W}$ (по $0{.}2$ балла за формулу и численное значение): $$\overline{W}=\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{M}{2m}}eE\lambda\approx 4{.}2\cdot 10^{-17}~\text{Дж}{.} $$ К данному пункту применяется PEP от пунктов $\mathrm{D1}-\mathrm{D3}$. | 2 × 0.20 |
|
| 2 Получен ответ для $u$ (по $0{.}2$ балла за формулу и численное значение): $$u=\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{eE\lambda\sqrt{2}}{\sqrt{Mm}}}\approx 27{.}6~\text{км}/\text{с}{.} $$ К данному пункту применяется PEP от пунктов $\mathrm{D1}-\mathrm{D3}$. | 2 × 0.20 |
|