A1  ^1.00 Теоретически получите выражение для периода прецессии волчка $T_1$.

B1  ^3.00 Раскрутите волчок с помощью груза $m_1$ и измерьте период его прецессии. Используя эти данные и проведя необходимые дополнительные измерения геометрических размеров, определите момент инерции ротора волчка $I$ и частоту вращения волчка (в $Гц$) в эксперименте.

Для нахождения момента инерции волчка воспользуемся законом сохранения энергии и уравнением $(3)$. Получим систему уравнений:
$$\left\{\begin{array}{l}
{T}_{1}=\dfrac{2 \pi I \omega}{r m g}, \\
m_{1} g h=\dfrac{m_{1}(b \omega)^{2}}{2}+\dfrac{I \omega^{2}}{2} .
\end{array}\right.$$Здесь $r=4.1~см$ – расстояние от точки опоры $О$ до центра масс волчка, $h=85~см $ – длина той части нити, которой раскручивают волчок, $b$ – расстояние от точки приложения силы тяжести груза к волчку до оси волчка. Чтобы определить $b$, посчитаем, сколько оборотов совершает волчок, когда на него накручивают нить длинной $c=21.8~см$. Он совершает ${N}_{об}=10$:
$$2 \pi b N_{об}=c\implies b=0.35~см.$$${T}_{1}$ – период прецессии после раскручивания грузом. Измеряем его, поставив волчок на подставку сразу после раскручивания. Если гироскоп начинает вибрировать, вставать в вертикальное положение или по каким-то еще причинам вследствие его не идеальности большая угловая скорость не позволяет измерить период прецессии, то следует укоротить разгонную часть нити.
$$T_{1}=2.9~с.$$Из первого уравнения выражаем $\omega$ и подставляем во второе. Получаем квадратное уравнение относительно $I$:
$$\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}} I^{2}=m_{1} b^{2}+I$$Решив квадратное уравнение и выбрав положительный корень, получим:
$$I=\frac{1+\sqrt{1+4 a m_{1} b^{2}}}{2 a},\qquad a=\frac{8 \pi^{2} m_{1} h}{T_{1}^{2} m^{2} g r^{2}}$$

При различных оценках могут понадобиться другие параметры волчка такие как внешний радиус $R_1=3~см$, внутренний $R_2=2~см$.

B2  ^1.00 До какой максимальной частоты удаётся раскрутить волчок, дёргая за нить рукой? Ответ выразите в герцах.

Подставив значение $I$ в $(3)$, получим\[\nu_{1}=\dfrac{\omega}{2 \pi}=T_{1} \dfrac{r m g}{4 \pi \pi I}=91~Гц\implies \omega=571~\frac{рад }{с}\]При раскручивании руками максимальный период прецессии
$$T_{\max } \simeq 3~с.$$А соответствующая частота из $(3)$:

Оценим погрешность полученного значения $I$. Абсолютная погрешность при измерении $r-\Delta r=1~мм$, $b-\Delta b=0.2~мм$, $h-\Delta h=2~см$ (высокая погрешность $b$ и $h$ обусловлена растяжением нити), $T_{1}-\Delta T_{1}= 0.2~с$ (вызвано сложностью замера поворота на $2 \pi$ а так же установкой гироскопа на подставку).

Итого для $I$ имеем:$$\varepsilon \simeq 20 \% .$$

C1  ^2.20 Раскрутите волчок и поставьте на подставку. Постройте график зависимости частоты вращения ротора волчка (в $Гц$) от времени до того момента, как частота уменьшится в $2$ раза.

Нужно раскрутить волчок и с помощью секундомера, измеряющего круги, снять все периоды прецессии, пока период не упадёт в два раза. К частоте вращения от периода прецессии переходим по формуле:
$$\nu=T_{1} \frac{r g m}{4 \pi^{2} I}.$$Время находится как сумма всех предыдущих периодов.

$T_1,~с$	2.77	2.7	2.61	2.52	2.4	2.4	2.39	2.33	2.29
$t,~с$	2.77	5.47	8.08	10.6	13	15.4	17.79	20.12	22.41
$v_1,~Гц$	86.79	84.596	81.777	78.957	75.197	75.197	74.884	73.004	71.75
$T_1,~с$	2.259	2.125	2.07	2.15	1.98	1.93	1.99	1.95	1.88
$t,~с$	24.669	26.794	28.864	31.014	32.994	34.924	36.914	38.864	40.744
$v_1,~Гц$	70.779	66.581	64.857	67.364	62.037	60.471	62.351	61.097	58.904
$T_1,~с$	1.93	1.83	1.836	1.685	1.685	1.67	1.67	1.7	1.57
$t,~с$	42.674	44.504	46.34	48.025	49.71	51.38	53.05	54.75	56.32
$v_1,~Гц$	60.471	57.338	57.526	52.794	52.794	52.324	52.324	53.264	49.191
$T_1,~с$	1.57	1.56	1.53	1.43	1.49	1.33	1.36	1.38	1.39
$t,~с$	57.89	59.45	60.98	62.41	63.9	65.23	66.59	67.97	69.36
$v_1,~Гц$	49.191	48.878	47.938	44.805	46.685	41.672	42.612	43.238	43.552
$T_1,~с$	1.34	1.2	1.32	1.21	1.16	1.26	1.13	1.01	1.09
$t,~с$	70.7	71.9	73.22	74.43	75.59	76.85	77.98	78.99	80.08
$v_1,~Гц$	41.985	37.598	41.358	37.912	36.345	39.478	35.405	31.645	34.152
$T_1,~с$	1.1	1.05	0.98
$t,~с$	81.18	82.23	83.21
$v_1,~Гц$	34.465	32.899	30.705

График измеренной зависимости:

C2  ^0.80 На основе графика сделайте качественный вывод о зависимости момента силы трения, действующего на ротор, от скорости вращения волчка. Определите средний момент силы трения.

Из линейности полученной зависимости можно сделать вывод о том, что момент силы трения постоянный, он никак существенно не зависит от скорости вращения ротора. Возможно получение неправильного результата, если не добиться того, чтобы рама не проворачивалась относительно подставки.
$$M_{тр}=-\frac{\Delta \nu}{\Delta t} 2 \pi I \tag{5}$$

D1  ^0.50 Теоретически выведите формулу для периода прецессии $T_2$ в этом случае.

Записав момент силы тяжести относительно точки подвеса, и использовав промежуточные выкладки из первой части задачи получим:

Здесь $z=4~см$ – расстояние от точки подвеса до оси волчка.

D2  ^1.50 Экспериментально исследуйте зависимость периода прецессии $T_2$ от угла $\alpha$.

Как видно из графика эту зависимость можно считать линейной, что подтверждает полученную теорию.