Чтобы определить радиус бокала $R_{H}$ в горизонтальной плоскости, обернём бокал измерительной лентой и измерим длину «охвата» бокала $L$ в его самой широкой части:
$$R_{H}=\frac{L}{2 \pi}$$Получим $L=281.0~мм$
Теоретические основы
Получим формулу, связывающую радиусы кривизны поверхностей линзы $R_V$ и $R_H$, фокусное расстояние $f_V$ и показатель преломления $n$ для вертикального сечения. Для этого рассмотрим ход луча внутри линзы (рис. 1):
Ввиду сложности поставленной задачи используем приближение малых углов (будем считать, что луч проходит на очень малом расстоянии от главной оптической оси). $$\alpha=n \beta\tag{1}$$ $$\psi=n \theta \tag{2}$$ $$d=(\alpha-\beta) 2 R_{H}=\alpha\left(1-\frac{1}{n}\right) 2 R_{H} \tag{3}$$ $$a=\alpha R_{V} \tag{4}$$ $$b=a-d=\alpha\left(R_{V}-2 R_{H}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right) \tag{5}$$ $$\varphi=\psi-\gamma=n \theta-\gamma \tag{6}$$ $$\theta=\gamma+\alpha\left(1-\frac{1}{n}\right) \tag{7}$$ $$\varphi=(\alpha+\gamma)(n-1) \tag{8}$$ $$\gamma=\frac{b}{R_{V}}=\alpha\left(1-2 \frac{R_{H}}{R_{V}}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right) \tag{9}$$ $$f_{V}=\frac{b}{\varphi}=\frac{\alpha R_{V}\left(1-2 \frac{R_{H}}{R_{V}}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)}{2 \alpha\left(1-\frac{R_{H}}{R_{V}}\left(1-\frac{1}{n}\right)\right)(n-1)} \tag{10}$$ $$f_{V}=\frac{R_{V}}{2(n-1)} \frac{\left(n R_{V}-2 R_{H}(n-1)\right)}{\left(n R_{V}-R_{H}(n-1)\right)} \tag{11}$$ Для того чтобы найти фокусное расстояние линзы $f_{H}$ для горизонтальной плоскости, в формуле $(11)$ достаточно заменить $R_{V}$ на $R_{H}$: $$ f_{H}=\frac{R_{H}}{2} \frac{2-n}{n-1}\tag{12} $$ Из формулы $(12)$ выразим $n$: $$ n=\frac{2\left(f_{H}+R_{H}\right)}{2 f_{H}+R_{H}}\tag{13} $$ Из уравнения $(11)$ выразим $R_{V}$: $$ n R_{V}^{2}-2(n-1)\left(n f_{V}+R_{H}\right) R_{V}+2 R_{H}(n-1)^{2} f_{V}=0\tag{14} $$ Решим получившееся квадратное уравнение: $$D=4(n-1)^{2}\left(n^{2} f_{V}^{2}+R_{H}^{2}\right) \tag{15}$$ $$R_{V}=\frac{n-1}{n}\left(n f_{V}+R_{H} \pm \sqrt{n^{2} f_{V}^{2}+R_{H}^{2}}\right) \tag{16}$$
Эксперимент
Далее определим фокусное расстояние линзы $f_{H}$ в горизонтальной плоскости.
Установим бокал вплотную к экрану, а затем начнём увеличивать расстояние между бокалом и экраном. Обратим внимание, что при удалении бокала от экрана световое пятно на экране (рис. 2) становится тоньше, а на некотором расстоянии (равном фокусному) – превращается в тонкую вертикальную линию.
Исследуем зависимость ширины пятна $W_{H}$ от расстояния между экраном и бокалом $L_{H}$. Ширину $W_{H}$ будем измерять с помощью клеток миллиметровой бумаги, закреплённой на экране, расстояние $L_{H}$ будем измерять с помощью измерительной ленты.
$L_H,~мм$ 25.0 22.0 20.0 18.0 16.0 15.0 13.0 12.0 10.0 $W_H,~мм$ 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0
Значению $f_{H}$ соответствует значение $L_{H}$, при котором ширина $W_{H}$ равна нулю. Из графика:$$f_{H}=27.5~мм.$$Подставим измеренные значения $R_{H}$ и $L_{H}$ в формулу $(13)$. Получим:
Определим фокусное расстояние линзы $f_{V}$ в вертикальной плоскости. Вновь поместим бокал между экраном и источником. Заметим, что если бокал расположить далеко от экрана (сохраняя при этом условие, что источник света также удалён от бокала достаточно далеко), то световое пятно имеет форму горизонтальной полосы, сужающейся к середине (рис. 3). При уменьшении расстояния между бокалом и экраном полоса становится тоньше.
Используем это явление, чтобы определить фокусное расстояние $f_V$. Исследуем зависимость ширины полосы $W_V$ от расстояния между бокалом и экраном $L_V$. Построим график зависимости $L _V\left(W_V\right)$.
$L_V,~мм$ 139.0 130.0 119.0 108.0 98.0 86.0 75.0 62.0 $W_V,~мм$ 38.0 38.0 30.0 25.0 20.0 15.0 10.0 5.0
Значению $f_{V}$ соответствует значение $L_{V}$, при котором ширина $W_{V}$ равна нулю. Из графика:$$f_{V}=51.6~мм.$$Полученные значения подставим в формулу $(16)$. Получим два корня:$$R_{V1}=64.1~мм,\qquad R_{V2}=10.0~мм.$$Из формы бокала можно сделать вывод, что $R_{V}$ должен быть больше чем $R_{H}$ (для этого достаточно просто взглянуть на бокал). Поэтому второй корень не подходит.
Оценим погрешности. Абсолютная погрешность $R_{H}$:$$\sigma_{R_{H}}=\frac{\sigma_{L}}{2 \pi}.$$Абсолютную погрешность $f_{V}$ и $f_{H}$ можно оценить по графикам. В качестве примера оценим погрешность $f_{V}$. Для этого на графике через кресты погрешностей проведём вспомогательные прямые.
Определим значения $W_{V}$, при которых прямые пересекают вертикальную ось (обозначим их как $f_{V\min}$ и $f_{V\max}$). Затем найдём полуразность: $$\sigma_{f_H}=\frac{1}{2}\left(f_{V \max }-f_{V \min }\right)=\frac{1}{2}(54.0-47.0)~мм=3.5~мм.$$Абсолютная погрешность $n$:$$n=n \sqrt{\varepsilon_{f_{H}+R_{H}}^{2}+\varepsilon_{2 f_{H}+R_{H}}^{2}}=n \sqrt{\left(\frac{\sigma_{f_{H}}+\sigma_{R_{H}}}{f_{H}+R_{H}}\right)^{2}+\left(\frac{2 \sigma_{f_{H}}+\sigma_{R_{H}}}{2 f_{H}+R_{H}}\right)^{2}} \approx n\left(\frac{\sigma_{f_{H}}+\sigma_{R_{H}}}{f_{H}+R_{H}}\right) \sqrt{2}.$$Абсолютную погрешность $R_{V}$ можно оценить как полуразность значений $R_{V \max}$ и $R_{V \min}$, полученных путём подстановки в формулу $(16)$ самых больших и самых малых из возможных в пределах своих погрешностей величин $n, R_{H}, R_{V}$ и $f_{V}$ при которых значение $R_{V}$ достигает своего минимума $R_{V \min}$ и максимума $R_{V \max}$.