Месторождения нефти представляют собой пласт пористой проводящей жидкость среды, которую сверху перекрывает покрышка плохо проводящей жидкость горной породы. Под проводящей пористой средой должна находиться нефтематеринская порода. В течение длительного (порядка миллионов лет) времени, под действием высоких температур и давлений в практически бескислородной среды, органическое вещество нефтематеринской породы (кероген) распадается на углеводороды. Поры среды заполняются смесью этих углеводородов и воды, которой в среднем всегда больше. Эта смесь называется флюидом. Из-за увеличения удельного объема, а также из-за уплотнения горной породы с течением времени под силой тяжести, в поровой жидкости, флюиде, начинает увеличиваться давление. Это приводит к движению флюида. Непроводящая глинистая покрышка является естественной преградой для флюида. За миллионы лет он накапливается у поверхности раздела в «ловушках» — неровностях горной породы (см. рис.).

Считайте известными следующие численные данные:

• Плотность нефти $\rho=800~кг/м^3$;
• Атмосферное давление $p_0=1~атм=10^5~Па$;
• Ускорение свободного падения $g=10~м/с^2$. Во всех частях задачи, кроме $\mathrm{A}$, полностью им пренебрегайте.

Часть A. Оценка запасов нефти (1.5 балла)

Как было указано в предисловии, весь нефтяной флюид расположен в порах среды. Важной характеристикой среды является пористость — величина
$$\varphi=\cfrac{V_{пор}}{V_{ср}}{,}
$$
где $V_{пор}$ — объём, занимаемый порами в выделенном объёме среды $V_{ср}$.

A1  ^0.30 Пусть залежь нефти представляет собой участок древних речных отложений песчаника в форме параллелепипеда высотой $h = 10~{м}$, шириной $b = 100~{м}$ и длинной $L = 2000~{м}$. Пористость породы $\varphi = 0.1$. Оцените запасы нефти $m_{н}$ в данном месторождении. Выразите ответ через $L$, $b$, $h$, $\rho$ и $\varphi$, а также приведите его численное значение в тоннах. Считайте, что нефтяной флюид целиком заполняет объём пор.

Одной из наиболее важных величин в отрасли, связанной с нефтью, является пластовое давление. Пластовым давлением $p_{пл}$ называют величину давления жидкостей в порах в том случае, когда поры соединены между собой. Данный случай чаще всего и реализуется в реальности.

Пластовое давление обусловлено тем, что флюид в порах сжат относительно нормальных условий. Сжатие флюида характеризуется сжимаемостью вещества $\beta$, которая определяется соотношением:
$$\beta=-\cfrac{1}{V}\cfrac{dV}{dp}{,}
$$
где $p$ и $V$ — давление и объём вещества, а производная $dV/dp$ берётся при постоянном его количестве.

Далее во всех пунктах данной части задачи считайте, что все поры соединены между собой, поэтому распределение давления в них определяется по законам гидростатики.

A2  ^0.30 Пусть пластовое давление нефти на дне залежей составляет $p_{пл}=250~{атм}$. Найдите, при какой максимальной глубине залегания $H_{max}$ месторождение будет фонтанирующим, т.е. нефть будет вытекать на поверхность под действием собственного давления. Выразите ответ через $\rho$, $g$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Сжимаемостью нефти можно пренебречь.

Из месторождения можно добыть далеко не всю нефть, а только её часть. Доля извлеченной нефти от общих запасов называется коэффициентом извлечения нефти (КИН) $\alpha$. Как правило он невысок и почти никогда не достигает половины.

A3  ^0.60 Оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования при пластовом давлении $p_{пл}=250~{атм}$, если сжимаемость нефти $\beta = 5\cdot 10^{-10}~{Па}$. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте, что отложения русла рек изолированы непроницаемыми глинами с малой пористостью. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом.

A4  ^0.30 При тех же самых данных оцените максимально возможный КИН $\alpha_{max}$ в режиме фонтанирования, если снизу в пластовых отложениях находится вода объемом $kV_0$ ($k = 9$) при начальных запасах нефти $V_0$. Сжимаемость воды считайте равной сжимаемости нефти. Выразите ответ через $\beta$ и $p_{пл}$, а также приведите его численное значение. Считайте что забор жидкости происходит сверху, т.е. забирается только нефть. Глубина залежей $H$ может быть выбрана произвольным образом.

Часть B. Гидроразрыв пласта (3.2 балла)

Распространенный метод повышения отдачи нефти на месторождении заключается в том, что перед добычей в скважину под большим давлением закачивается специальная жидкость — расклинивающий агент. Это приводит к образованию трещины плоской формы порядка $100~{м}$ в длину и не более $1~{см}$ в ширину. Созданная в нефтесодержащих слоях трещина заметно упрощает приток нефти в скважину при том же давлении, что существенно ускоряет добычу и уменьшает затраты. Этот метод называется гидроразрывом пласта.

При описании трещины воспользуемся следующей моделью:

• Трещина состоит из двух одинаковых симметричных половин, лежащих в одной вертикальной плоскости (рис. а);
• Скорость жидкости, текущей в трещине, считайте направленной горизонтально вдоль трещины (рис. б);
• Скорость элементов жидкости, лежащих на одной вертикали, совпадают;
• Поток $Q=6~{м}^3/{мин}$ расклинивающей жидкости делится поровну между половинами рассматриваемой трещины, поступает в них при $x=0$ и остаётся постоянным во всех сечениях $wh$ (рис. б);
• Высота $h=10~{м}$ рассматриваемой трещины одинакова в любой её точке;
• Ширина трещины $w$ (рис. а) зависит от избыточного по сравнению с горным давления $p'=p-\sigma_0$, где $\sigma_0=const$, по закону $$w=\cfrac{p'h}{E}{,}$$ где $E=10^{10}~{Па}$ – модуль плоской деформации;
• Вязкость расклинивающей жидкости равна $\eta=1{.}00~{Па}\cdot{с}$.

На (рис. а) показан вид сверху на трещину, а на (рис. б) приведено поперечное сечение трещины $wh$, лежащее в вертикальной плоскости и перпендикулярное оси $x$. через которое течёт жидкость.

В пунктах $\mathrm{B1}$ и $\mathrm{B2}$ рассматривается половина трещины, соответствующая $x>0$, в которой скорость расклинивающей жидкости направлена вдоль оси $x$.

B1  ^1.00 Рассмотрим горизонтальное течение жидкости вдоль оси $x$ между двумя параллельными плоскостями высотой $h$. Расстояние между плоскостями $w\ll{h}$. Определите объёмный расход (далее во всех пунктах задачи — поток) жидкости $Q$ через поперечное сечение $wh$. Ответ выразите через $\eta$, $w$, $h$ и градиент давления $dp(x)/dx$.

Поскольку расстояние между плоскостями уменьшается медленно по длине трещины, всегда считайте применимым результат, полученный в пункте $\mathrm{B1}$.

B2  ^1.00 В центре щели создается избыточное давление $\Delta p$. Найдите зависимость избыточного давления $p'$ в щели от координаты $x$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $Q$, $E$, $h$, $\eta$ и $x$.

B3  ^0.20 Трещина заканчивается в положении, соответствующем равному нулю избыточному давлению. Определите длину трещины $L$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $E$, $h$, $\eta$ и $Q$.

B4  ^0.70 Определите объем трещины $V$. Ответ выразите через $\Delta{p}$, $h$, $\eta$, $Q$ и $E$.

Критическое избыточное давление, выдерживаемое барьерами, составляет $\Delta{p}=100~{атм}$.

B5  ^0.30 Рассчитайте максимально возможные значения длины трещины $L_{max}$ и её объёма $V_{max}$.

Часть С. Время добычи нефти (3.2 балла)

Пусть по краям нефтяного месторождения пробурено по скважине, каждая из которых создает трещину. Трещины параллельны боковым граням месторождения и полностью их перекрывают. Нагнетающая скважина создает повышенное давление, а добывающая — пониженное давление.
Распространение жидкости в пласте описывается законом Дарси
$$
\vec{v} = - \frac{k\nabla p}{\eta},
$$
где $\vec{v}$ — скорость течения жидкости, $\eta$ — вязкость жидкости, а $k$ — величина, называющаяся проницаемостью пласта для данной жидкости.
В рамках данной задачи движение является одномерным, поэтому величину $\nabla p$ можно записать следующим образом:
$$\nabla p=\vec{e}_x\cfrac{dp}{dx}{.}
$$

Рассмотрим следующую модель течения жидкости:

• Жидкости можно считать несжимаемыми;
• Жидкости текут по трубе постоянного сечения не перемешиваясь друг с другом;
• При течении жидкостей область их контакта (далее – фронт) всегда сохраняет плоскую форму, перпендикулярную направлению скорости жидкостей;
• Нагнетающая жидкость с проницаемостью $k_2$ и вязкостью $\eta_2=1\cdot 10^{-3}~{Па}\cdot{c}$ поступает в трубку при давлении $p_2=350~{атм}$, а вытекающая жидкость с проницаемостью $k_1$ и вязкостью $\eta_1=5\cdot 10^{-2}~{Па}\cdot{c}$ вытекает из трубки при давлении $p_1=100~{атм}$;
• Длина трубки равна $L = 2~{км}$, а величина $S$ обозначает координату $x$ фронта;
• В начальный момент времени жидкость $1$ полностью заполняет трубку, так что $S(0)=0$;
• Считайте, что в каждой из жидкостей давление меняется вдоль пласта линейно.

С1  ^1.00 Определите скорость $v$ движения границы жидкостей при перемещении фронта на величину $S$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$.

В пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$ считайте, что $k_1=k_2=k=5\cdot 10^{-12}~{м}^2$.

C2  ^0.90 Определите зависимость перемещения $S$ фронта от времени $t$. Ответ выразите через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$, $k$ и $t$

C3  ^0.50 Определите полное время $\tau$ вытеснения нефти из месторождения. Выразите ответ через $p_1$, $p_2$, $L$, $\eta_1$, $\eta_2$ и $k$ и рассчитайте его.

С4  ^0.80 При каком условии на параметры системы движение границы будет устойчивым, то есть при малом отклонении формы границы от плоской это отклонение не будет возрастать? Запишите условие устойчивости через $\eta_1$, $\eta_2$, $k_1$ и $k_2$.
Устойчиво ли течение жидкости, рассмотренное в пунктах $\mathrm{C2}$ и $\mathrm{C3}$?

Часть D. Течение нефти в забое скважины (2.1 балла)

Забой скважины — цилиндрический участок скважины с проницаемыми стенками, через который может проникать нефть. В рамках данной части задачи вам предлагается изучить распределение поля скоростей жидкости внутри данного цилиндра.

Для начала рассмотрим классическое течение жидкости с вязкостью $\eta$ в трубе длиной $L$ радиусом $R$, к концам которой приложена разность давлений $\Delta p$. В пунктах $\mathrm{D1}$ и $\mathrm{D2}$ боковая поверхность цилиндра непроницаема, т.е жидкость через стенки не выходит, а движение каждого её элемента является одномерным.

D1  ^0.80 Найдите зависимость скорости течения жидкости в такой трубе от расстояния до оси трубы $v(r)$, максимальное значение скорости $v_{max}$ и полный поток $Q$ жидкости через сечение цилиндра. Ответы выразите через $\Delta{p}$, $\eta$, $L$, $R$ и $r$.

D2  ^0.20 Выразите распределение скорости течения жидкости $v(r)$ через полный поток $Q$, $R$ и $r$.

При решении задачи используйте следующие модель и обозначения:

• Величина $h$ является расстоянием, отсчитываемым от нижнего края забоя;
• Жидкость поступает в забой равномерно по всей площади боковой поверхности цилиндра, а её поток через нижний края забоя равен нулю;
• Величина $u_r$ обозначает радиальную компоненту скорости течения жидкости, направленную от оси цилиндра;
• Несмотря на наличие радиальной компоненты скорости течения жидкости, она является малой, поэтому при нахождении распределения осевой компоненты скорости $v$ течения жидкости используйте результаты, полученные в пунктах $\mathrm{D1}$ и $\mathrm{D2}$.

D3  ^0.20 Найдите поток $Q$ в сечении забоя на расстоянии $h$ от его нижнего края и соответствующее выражение для вертикальной скорости $v(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$. Ответы выразите через $Q_0$, $H$, $R$, $r$ и $h$.

D4  ^0.30 Рассмотрим кольцо высотой $dh$ с внутренним и внешним радиусами $r$ и $r+dr$ соответственно. Используя тот факт, что жидкость несжимаема, покажите, что из условия постоянства объёма жидкости внутри выделенного кольца следует соотношение:
$$\cfrac{\partial v}{\partial h}=-\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial (u_rr)}{\partial r}{.}$$
Вы можете использовать это соотношение, даже если не смогли его доказать.

D5  ^0.50 Найдите радиальную скорость течения жидкости $u_r(r,h)$ в зависимости от расстояния до оси $r$ и высоты $h$, а также максимальную величину её модуля $u_{r(max)}$. Ответы выразите через $Q_0$, $R$, $H$, $h$ и $r$.

D6  ^0.10 Чему равно отношение $u_{r(max)}/v_{max}$? Ответ выразите через $R$ и $H$.