|
A1. 1
Для объёма нефти получено: $$V_\text{н}=\varphi bhL{.} $$ |
0.10 |
|
|
A1. 2
Получен правильный ответ (по $0{.}1$ балла за выражение и численное значение): $$m_\text{н}=\rho\varphi bhL=160\cdot 10^3~\text{тонн}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
A2. 1
Получено выражение для $H_{max}$: $$H_{max}=\cfrac{p_\text{пл}}{\rho g}{.} $$ |
0.10 |
|
|
A2. 2
Рассчитана величина $H_{max}$: $$H_{max}\approx 3{.}125~\text{км} $$ |
0.20 |
|
| A3. 1 Указано или используется, что максимальная доля запасов добывается в случае очень малых глубин залежей. | 0.30 |
|
|
A3. 2
Получено выражение для $\alpha_{max}$: $$\alpha_{max}=\beta p_\text{пл}{.} $$ |
0.20 |
|
|
A3. 3
Определено численное значение для $\alpha_{max}$: $$\alpha_{max}\approx 1{.}25\text{%}{.} $$ |
0.10 |
|
| A4. 1 Проявлено понимание, что из-за наличия в системе воды объём добываемой нефти увеличивается на величину, равную изменению объёма воды. | 0.10 |
|
|
A4. 2
Получен правильный ответ (по $0{.}1$ балла за выражение и численное значение): $$\alpha_{max}=10\beta p_\text{пл}\approx 12{.}5\text{%}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
B1. 1
Из условия постоянства импульса прямоугольного параллелепипеда получено: $$\cfrac{d^2v}{dz^2}=\cfrac{1}{\eta}\cfrac{dp}{dx}{.} $$ При неправильном знаке в последующих выкладках применяется PEP везде, кроме ответов. |
0.40 |
|
|
B1. 2
Получено выражение для $dv(z)/dz$: $$\cfrac{dv}{dz}=\cfrac{z}{\eta}\cfrac{dp}{dx}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B1. 3
Получено выражение для $v(z)$: $$v(z)=-\cfrac{1}{2\eta}\cfrac{dp}{dx}\left(\cfrac{w^2}{4}-z^2\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
B1. 4
Для потока $Q$ записано: $$Q=\int\limits_{-w/2}^{w/2}v(z)\cdot hdz{.} $$ |
0.10 |
|
|
B1. 5
Получено выражение для $Q$ (по $0{.}1$ балла за величину и знак): $$Q=-\cfrac{w^3h}{12\eta}\cfrac{dp}{dx}{.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
B2. 1
Учтено, что в каждой половине трещины поток жидкости равен $Q/2$ и записано: $$\cfrac{Q}{2}=-\cfrac{w^3h}{12\eta}\cfrac{dp'}{dx}{.} $$ Если вместо $Q/2$ записано $Q$, то в последующих выкладках применяется PEP везде, кроме ответов. |
0.10 |
|
|
B2. 2
Записано выражение для объёма с подстановкой эмпирической формулы для $w(x)$: $$\cfrac{Q}{2}=-\cfrac{h^4p'^3}{12\eta E^3}\cfrac{dp'}{dx}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B2. 3
Получено уравнение для определения $p'$ соотношение: $$\int\limits_{\Delta{p}}^{p'(x)}p'^3dp'=\cfrac{p'^4(x)-\Delta{p}^4}{4}=-\cfrac{6Q\eta E^3x}{h^4}{.} $$ |
0.50 |
|
|
B2. 4
Получено правильная зависимость $p'(x)$ (по $0{.}1$ балла за правильные величины обоих слагаемых и знак): $$p'(x)=\sqrt[4]{\Delta{p}^4-\cfrac{24Q\eta E^3x}{h^4}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B3. 1
Для своей формулы правильно выражена полудлина трещины: $$\cfrac{L}{2}=\cfrac{\Delta{p}^4h^4}{24Q\eta E^3}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B3. 2
Получено выражение для $L$: $$L=\cfrac{\Delta{p}^4h^4}{12Q\eta E^3}{.} $$ |
0.10 |
|
|
B4. 1
Записано выражение для объёма $V$: $$V=2\int\limits_{0}^{L}hw(x)dx{.} $$ |
0.10 |
|
|
B4. 2
Для своей формулы получено выражение для объёма как интеграл функции от $x$: $$V=\cfrac{2h^2\Delta{p}}{E}\int\limits_{0}^{L}\sqrt[4]{1-\cfrac{24Q\eta E^3x}{h^4\Delta{p}^4}}dx{.} $$ |
0.20 |
|
|
B4. 3
Верно вычислен интеграл: $$\int\limits_{0}^{1}\sqrt[4]{1-z}dz=\cfrac{4}{5}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B4. 4
Получено выражение для $V$: $$V=\cfrac{h^6\Delta{p}^5}{15Q\eta E^4}{.} $$ |
0.20 |
|
|
B5. 1
Определено численное значение $L_{max}$: $$L_{max}\approx 83~\text{м}{.} $$ Оценивается только правильное число. |
0.10 |
|
|
B5. 2
Определено численное значение $V_{max}$: $$V_{max}=6{.}7~\text{м}{.} $$ Оценивается только правильное число. |
0.20 |
|
|
С1. 1
Получены градиенты давлений в жидкостях $1$ и $2$: $$\cfrac{\partial p_\text{н}}{\partial x}=-\cfrac{\eta_1v}{k_1}\qquad \cfrac{\partial p_\text{в}}{\partial x}=-\cfrac{\eta_2v}{k_2}{.} $$ |
2 × 0.20 |
|
|
С1. 2
Получена связь разности давлений со скоростью $v$: $$p_2-p_1=\cfrac{\eta_2xv}{k_2}+\cfrac{\eta_1(L-x)v}{k_1}{.} $$ |
0.40 |
|
|
С1. 3
Получено выражение для $v$: $$v=\cfrac{p_2-p_1}{\cfrac{\eta_1L}{k_1}+\left(\cfrac{\eta_2}{k_2}-\cfrac{\eta_1}{k_1}\right)S}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C2. 1
Выражено время $dt$, за которое фронт перемещается на величину $dS$: |
0.20 |
|
|
C2. 2
Получена зависимость времени $t$ от перемещения $S$: $$t=\cfrac{1}{k(p_2-p_1)}\int\limits_{0}^S(\eta_1L+(\eta_2-\eta_1)x)dx=\cfrac{1}{k(p_2-p_1)}\left(\eta_1LS+\cfrac{(\eta_2-\eta_1)S^2}{2}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
C2. 3
Составлено квадратное уравнение относительно $S$: $$S^2-\cfrac{2\eta_1LS}{\eta_1-\eta_2}+\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}=0{.} $$ |
0.10 |
|
|
C2. 4
Решено квадратное уравнение относительно $S$: $$S(t)=\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\pm\sqrt{\left(\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\right)^2-\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}}{.} $$ |
0.20 |
|
|
C2. 5
Выбран нужный корень и получена правильная зависимость $S(t)$: $$S(t)=\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}-\sqrt{\left(\cfrac{\eta_1L}{\eta_1-\eta_2}\right)^2-\cfrac{2k(p_2-p_1)t}{\eta_1-\eta_2}}{.} $$ |
0.20 |
|
| C3. 1 Указано или следует из решения, что $\tau=t(L)$. | 0.10 |
|
|
C3. 2
Получен правильный ответ для $\tau$ (по $0{.}2$ балла за выражение и численное значение): $$\tau=\cfrac{(\eta_1+\eta_2)L^2}{2k(p_2-p_1)}\approx 26~\text{лет}{.} $$ |
2 × 0.20 |
|
| С4. 1 Указано или следует из решения, что отклонение не будет возрастать, если $v(x+dx){<}v(x)$. | 0.30 |
|
|
С4. 2
Сделан вывод, что критерием устойчивости является следующее неравенство: $$\cfrac{\eta_2}{k_2}{>}\cfrac{\eta_1}{k_1}{.} $$ |
0.40 |
|
| С4. 3 Сделан вывод, что движение рассматриваемого течения является неустойчивым. | 0.10 |
|
|
D1. 1
Из условия постоянства импульса цилиндра радиусом $r$ получено: $$\cfrac{\partial v}{\partial r}=-\cfrac{r}{2}\cfrac{\Delta{p}}{\eta L}{.} $$ |
0.30 |
|
|
D1. 2
Получен правильная зависимость $v(r)$: $$v(r)=\cfrac{\Delta{p}(R^2-r^2)}{4\eta L}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D1. 3
Для потока $Q$ записано: $$Q=\int\limits_{0}^R v(r)\cdot 2\pi rdr{.} $$ |
0.10 |
|
|
D1. 4
Получено выражение для потока $Q$: $$Q=\cfrac{\pi\Delta{p}R^4}{8\eta L}{.} $$ |
0.20 |
|
|
D2. 1
Получена правильная зависимость $v(r)$: $$v(r)=\cfrac{2Q}{\pi R^2}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.} $$ |
0.20 |
|
|
D3. 1
Получена правильная зависимость $Q(h)$: $$Q(h)=\cfrac{Q_0h}{H}{.} $$ |
0.10 |
|
|
D3. 2
Получена правильная зависимость $v(r{,}h)$: $$v(r{,}h)=\cfrac{2Q_0h}{\pi R^2H}\left(1-\cfrac{r^2}{R^2}\right){.} $$ |
0.10 |
|
|
D4. 1
Правильно записан поток вектора скорости через основания кольца: $$q_\text{осн}=q=2\pi rdrv(r{,}h+dh)-2\pi rdrv(r{,}h){.} $$ |
0.10 |
|
|
D4. 2
Правильно записан поток вектора скорости через боковую поверхность кольца: $$q_\text{бок}=2\pi dh(r+dr)u_r(r+dr{,}h)-2\pi dh ru_r(r{,}h){.} $$ |
0.10 |
|
| D4. 3 Из условия $q=q_\text{осн}+q_\text{бок}=0$ показано требуемое. | 0.10 |
|
|
D5. 1
Правильно выполнено интегрирование выражения, полученного в $\mathrm{D4}$: $$ru_r(r{,}h)=-\cfrac{2Q_0}{\pi R^2H}\int\limits_{0}^r\left(1-\cfrac{z^2}{R^2}\right)zdz{.} $$ |
0.10 |
|
|
D5. 2
Получена правильная зависимость $u_r(r{,}h)$ (по $0{.}1$ балла за величину и знак): $$u_r(r{,}h)=-\cfrac{Q_0}{\pi R^2H}\left(r-\cfrac{r^3}{2R^2}\right){.} $$ |
2 × 0.10 |
|
|
D5. 3
Определено расстояние $r_{max}$, соответствующее $u_{r(max)}$: $$r_{max}=\sqrt{\cfrac{2}{3}}R{.} $$ |
0.10 |
|
|
D5. 4
Получен правильный ответ для $u_{r(max)}$: $$u_{max}=\left(\cfrac{2}{3}\right)^{3/2}\cfrac{Q_0}{\pi RH}{.} $$ |
0.10 |
|
|
D6. 1
Получен правильный ответ: $$\cfrac{u_{r(max)}}{v_{max}}=\cfrac{\sqrt{2}R}{3\sqrt{3}H} $$ |
0.10 |
|