Инструкцию по работе с программой можно найти в Приложении. Рекомендуется полностью прочитать текст задачи и Приложения, прежде чем приступать к измерениям.
В подготовительных лекциях уже рассказывалось про диффузию в твёрдых телах и её применение. В этой задаче также обсуждается диффузия примесей в твёрдых телах, в частности, в поликристаллах.
Процесс диффузии в кристаллической решётке осуществляется в большинстве «обычных» веществ путём перескока атомов диффундирующей примеси между соседними ячейками решётки. Большую часть времени частицы примеси проводят в окрестности точки, где потенциальная энергия взаимодействия частицы примеси с атомами решётки минимальна. Окрестности таких точек называются междоузлиями.
Обычно энергия частиц примеси невелика, поэтому они могут перескакивать лишь между соседними междоузлиями. Для этого нужно преодолеть энергетический барьер высотой не менее $E_g$. Энергию $E_g$ называют энергией активации. Из статистической физики известно, что вероятность такого перехода пропорциональна величине $\exp(-E_g/kT)$. Более того, время перескока между соседними междоузлиями должно быть обратно пропорционально характерной скорости движения частиц. Таким образом,\[D\propto v\exp(-\Delta E_g/kT),\]где $v$ — среднеквадратичная скорость, ассоциированная с тепловым движением частиц примеси.
A2 0.40 Запишите, как связаны между собой среднеквадратичное перемещение частицы $\Delta r_{sq}$ с коэффициентом диффузии $D$ и временем симуляции $t$ в трёхмерном случае.
Примечание: движение частицы вдоль каждой из трёх осей в случайном блуждании можно считать независимым. Коэффициент диффузии $D$ в одномерном случае связан с размером ячейки $a$ и характерным временем перескока $\tau$ как $D=a^2 /2 \tau$.
Примечание: если вы не справились с этим пунктом, в дальнейшем считайте $\Delta r_{sq}=\sqrt{Dt}$.
В программе для части A просимулировано движение частиц примеси в междоузлиях для кубической решётки. Выберите число частиц, движение которых нужно просимулировать, а также температуру и время симуляции. Программа выведет корень среднего квадрата перемещения частицы и его погрешность среди проведённых симуляций. Все вводы и выводы программы производятся в условных единицах.
В оставшейся части задачи моделируется твёрдое тело больших размером с плоской границей, на поверхность которой равномерно наносят некоторое большое число атомов примеси. Со временем атомы примеси диффундируют внутрь вещества. Результатом симуляции является распределение концентрации $c$ частиц примеси в твёрдом теле в зависимости от глубины проникновения $z$ этих частиц.
Поскольку атомы на границе зёрен расположены хаотично и куда более «рыхло», перемещение атомов примеси между ними не требует такого большого количества энергии, как перемещение внутри решётки монокристалла. Из-за этого коэффициент диффузии на границе зёрен оказывается намного больше, чем внутри них, что может заметно влиять на диффузионные процессы в поликристалле.
Цель частей B и C этой задачи — исследовать явления, которые возникают в процессе поликристаллической диффузии.
У диффузионных процессов в поликристалле есть три разных режима. Их называют кинетическими режимами типа A, B и C соответственно. Кинетический режим типа A наблюдается на самых крупных масштабах времени, режим C — на самых мелких. Режим B является промежуточным между ними. В задаче исследуются лишь режимы A и B.
Сначала рассмотрим режим A.
Когда характерный масштаб диффузии $\sim\sqrt{Dt}$ превышает размер зёрен поликристалла, каждый атом «внедрённого» вещества проходит через большое число зёрен. За счёт этого диффузия происходит единым «фронтом» и может быть охарактеризована эффективным коэффициентом диффузии $D_{eff}$, зависящим от коэффициента диффузии в зёрнах $D$, на границах зёрен $D_{gb}$ и относительного объёма $\delta$, занимаемого границами.
Если бы границы зёрен в поликристалле были ориентированы исключительно вдоль направления диффузии, то эффективный коэффициент диффузии был бы равен просто взвешенному среднему $D$ и $D_{gb}$, т.е.:\[D_{eff}=D+\delta(D_{gb}-D).\]Если же границы ориентированы перпендикулярно направлению диффузии, то при $\delta\ll1$ эффективный коэффициент диффузии практически бы не менялся.
В реальном поликристалле границы зёрен ориентированы произвольным образом. Из-за этого эффективный коэффициент диффузии отличается от примеров, приведённых выше. Точно решить задачу об эффективном коэффициенте диффузии в такой структуре очень сложно, и в реальности можно привести лишь оценку в предельном случае $g\ll1$, $D_{gb}/D\gg1$:\[D_{eff}/D=1+\alpha\delta(D_{gb}/D-1).\]Попробуем оценить $\alpha$ в каком-нибудь приближении, а потом найдём его экспериментально.
Самый простой путь для оценки $\alpha$ — принять $D\to0$ при $D_{gb}=\operatorname{const}$ и найти $D_{eff}$ для какой-нибудь простой трёхмерной конфигурации поликристалла. Для примера возьмём поликристалл, состоящий из кубических монокристаллов размером $a$, разделённых границами толщины $\delta a/3$. Эффективный коэффициент диффузии можно оценить как коэффициент диффузии вдоль одной из осей системы (благо, по всем трёх осям он будет одним и тем же).
Проверим справедливость оценки с помощью программы. В программе моделируется произвольная поликристаллическая структура. Программа в частях B и C принимает на вход значения в относительных единицах, таких что $a,D=1$, а единица измерения времени – это $D/a^2$. Вы можете регулировать коэффициент диффузии на границе $D_{gb}$, время симуляции $t$ и относительный объём границ $\delta$.
Примечание: при выполнении следующего пункта считайте известным, что распределение концентрации частиц $c$ от глубины проникновения $z$ в случае однородного кристалла с коэффициентом диффузии $D_{eff}$ имело бы вид:\[c(z)=\frac{N_0}{4\sqrt{\pi D_{eff}t}}\exp\left[-\frac{z^2}{4D_{eff}t}\right].\]
B2 2.00 Моделируя диффузию в поликристалле при $t\in[2;5]$, $D_{gb}/D\in[2;5]$, $\delta\in[0.005;0.05]$, получите экспериментальное значение $\alpha$. Сравните с результатом B1.
Примечание: В результате работы программы в файл Bavg.csv записывается зависимость логарифма средней концентрации $\ln\bar c$ частиц примеси от квадрата глубины проникновения $z^2$. Эту зависимость можно анализировать с помощью программы B.nb.
Напоследок стоит заметить, что коэффициент $\alpha$ зависит от размерности пространства, в котором происходит диффузия.
Несмотря на то, что линейную зависимость $\ln c(z^{6/5})$ нельзя получить аналитически, параметры этой зависимости однозначно выражаются через входные параметры задачи (из физических соображений — от безразмерных переменных $\delta$, $D_{gb}/D$ и $Dt/a^2$, где $a^3$ — объём одного зерна поликристалла). Можно записать:\[\cfrac{\mathrm d\ln c}{\mathrm dz^{6/5}}=-C\delta^\xi a^\psi\left[\cfrac{D_{gb}}D\right]^\eta\left[\cfrac{Dt}{a^2}\right]^\zeta.\]Здесь $C$ — численный коэффициент $\sim10^0$.
C2 4.00 Путём численного моделирования найдите остальные коэффициенты. Проводите измерения в диапазоне $t\in[0.005;0.200]$, $D_{gb}/D\in[5;50]$, $\delta\in[0.02;0.20]$.
В результате работы программы в файл Cavg.csv записывается зависимость логарифма средней концентрации $\ln\bar c$ частиц примеси от степени глубины проникновения $z^{6/5}$, а в файл Cmap.csv – зависимость логарифма концентрации $\ln c$ от степени глубины проникновения $z^{6/5}$ и координаты $y$, отсчитываемой вдоль поверхности твёрдого тела. Эти зависимости можно анализировать с помощью программы C.nb.
Программное обеспечение для решения задачи находится в папке ISPhO. Программы, которые вам понадобятся, — это
Первый три программы используются для моделирования, другие три – для визуализации и обработки полученных данных.
Работа с .exe
Файлы с разрешением .exe предоставляют интерфейс командной строки. При запуске программы запрашивают набор входных параметров:
Все программы выводят на экран ожидаемое время симуляции. Оно может отличаться от реального в зависимости от характеристик вашего компьютера.
Не удаляйте и не редактируйте создаваемые файлы .csv!
Работа с .nb
Чтобы быстро и удобно визуализировать и обрабатывать результаты, используются программы с расширением .nb (т.н. «ноутбуки»), работающие на основе пакета компьютерной алгебры Wolfram Mathematica.
ВНИМАНИЕ! Несмотря на то, что в файлах .nb технически возможно поменять исходный код, делать этого крайне не рекомендуется! В случае, если вы нарушите работу исходного кода, помощь в возврате к начальному состоянию не предусмотрена!
Пример работы с InteractiveBuffer.nb
Чтобы упростить работу с Wolfram Mathematica для участников олимпиады, в этом приложении будет представлено пошаговое руководство по работе с одной из программ – InteractiveBuffer.nb.
После открытия файла на экране должно появиться его содержимое (детали оформления могут выглядеть по-разному в зависимости от версии WM):
Щёлкните мышкой в любой точке ячейки с кодом и нажмите комбинацию клавиш Shift+Enter. Это приведёт к исполнению кода в ячейке. Внизу появится новая ячейка, которая будет выглядеть следующим образом:
Это и есть интерактивный буфер, с которым можно работать при решении задачи. В интерактивные поля ввода можно ввести координаты $x$ и $y$. Если после этого нажать кнопку Add point, эти значения добавятся в буфер:
В случае добавления в буфер неправильной точки, программа предоставляет возможность удалить последнюю точку в буфере. Для этого нажмите кнопку Remove last point:
Чтобы полностью очистить буфер, нажмите Clear data:
После заполнения буфера необходимыми точками, вычислите ячейку во второй секции. Результат будет выглядеть следующим образом:
При нажатии кнопки Plot & fit программа нанесёт на график точки из буфера и рассчитает коэффициенты линейной регрессии для них. Пример содержимого буфера и соответствующего ему результата фитирования:
Остальные файлы формата .nb выглядят и работают похожим образом, а также снабжены комментариями и интуитивным интерфейсом.