|
1
Записано выражение, связывающее нормальную компоненту ускорения снаряда $a_n$ с угловой скоростью $\omega$: $$a_n=\omega v_0{.} $$ |
2.00 |
|
|
2
Определена нормальная компонента ускорения снаряда в момент выстрела: $$a_n=g\sin\alpha{.} $$ |
1.00 |
|
|
3
Получена зависимость начальной скорости снаряда $v_0$ от направления выстрела: $$v_0=\cfrac{g\sin\alpha}{\omega}{.} $$ |
1.00 |
|
|
4
M1
Для времени полёта записано: $$t=\cfrac{2v_{0y'}}{g\cos\varphi} $$ |
2.00 |
|
|
5
M1
Получено ГМТ конца вектора начальной скорости: $$\left(v_{0x}-\cfrac{g}{2\omega}\right)^2+v^2_{0y}=\left(\cfrac{g}{2\omega}\right)^2{.} $$ |
2.00 |
|
| 6 M1 Указано, что максимальное возможное значение $v_{0y'}$ достигается, когда конец вектора скорости лежит на перпендикуляре, проведённом к направлению поверхности горки из центра окружности. | 1.00 |
|
|
7
M1
Определена величина $v_{0y'(max)}$: $$v_{0y'(max)}=\cfrac{g(1-\sin\varphi)}{2\omega}{.} $$ |
1.00 |
|
|
8
M2
Для времени полёта записано: $$t=\cfrac{2v_{0y'}}{g\cos\varphi} $$ |
2.00 |
|
|
9
M2
Получена зависимость времени полёта от угла $\alpha$: $$t=\cfrac{2\sin\alpha\cos(\alpha+\varphi)}{\omega\cos\varphi}{.} $$ |
1.00 |
|
| 10 M2 Предложен способ нахождения экстремума функции (например, преобразование тригонометрических функций в сумму, взятие производной, исследование дискриминанта биквадратного уравнения относительно $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ и т.д). | 1.00 |
|
|
11
M2
Получено условие экстремума функции: $$\sin(2\alpha+\varphi)=1{,} $$или эквивалентное ему. |
2.00 |
|
| 12 M3 Построен векторный треугольник перемещений для момента падения на горку. | 2.00 |
|
|
13
M3
Получено выражение для времени полёта: $$t=\cfrac{2\sin\alpha\cos(\alpha+\varphi)}{\omega\cos\varphi}{.} $$ |
1.00 |
|
| 14 M3 Предложен способ нахождения экстремума функции (например, преобразование тригонометрических функций в сумму, взятие производной, исследование дискриминанта биквадратного уравнения относительно $\sin\alpha$ или $\cos\alpha$ и т.д). | 1.00 |
|
|
15
M3
Получено условие экстремума функции: $$\sin(2\alpha+\varphi)=1{,} $$или эквивалентное ему. |
2.00 |
|
|
16
M4
Записаны выражения для зависимостей обеих координат $x$ и $y$ от времени $t$: $$x=v_0\sin\alpha t\qquad y=v_0\cos\alpha t-\cfrac{gt^2}{2}{.} $$ |
1.00 |
|
|
17
M4
Указано, что в момент падения снаряда на горку: $$\cfrac{y}{x}=\operatorname{tg}\varphi{.} $$ |
1.00 |
|
|
18
M4
Получена зависимость времени $t$ движения снаряда от угла $\alpha$: $$t=\cfrac{2}{\omega}\cfrac{z-\operatorname{tg}\varphi}{1+z^2}{,}\quad z=\operatorname{ctg}\alpha{.} $$ |
1.00 |
|
| 19 M4 Предложен способ нахождения экстремума функции (например, взятие производной, исследование дискриминанта квадратного уравнения относительно $\operatorname{ctg}\alpha$ и т.д). | 1.00 |
|
|
20
M4
Правильно определён экстремум функции: $$\left(\cfrac{z-\operatorname{tg}\varphi}{1+z^2}\right)_{max}=\cfrac{1-\sin\varphi}{2\cos\varphi}=\cfrac{\cos\varphi}{2(1+\sin\varphi)}{.} $$ |
2.00 |
|
|
21
Получен ответ для $t_{max}$ (по $1{.}0$ балла за выражение через $\omega$ и численное значение:) $$t_{max}=\cfrac{1-\sin\varphi}{\omega\cos\varphi}=\cfrac{2\sin\left(\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\varphi}{2}\right)\cos\left(\cfrac{\pi}{4}+\cfrac{\varphi}{2}\right)}{\omega\cos\varphi}=\cfrac{\cos\varphi}{\omega(1+\sin\varphi)}=\cfrac{2}{\omega\sqrt{3}}\approx 1{.}15~\text{с}{.} $$ |
2 × 1.00 |
|