Пусть ускорение свободного падения равняется $g$, а выстрел производится под углом $\alpha$ к вертикали со скоростью $v_0(\alpha)$. Тогда имеем:
$$a_n=\omega v_0(\alpha)=g_n=g\sin\alpha\Rightarrow v_0(\alpha)=\cfrac{g\sin\alpha}{\omega}{.}
$$Далее можно решать задачу четырьмя способами.
Первый способ:
Второй способ:
Проекция начальной скорости снаряда на ось $y'$ равна $v_{0y'}=v_0\cos(\alpha+\varphi)$. Тогда для времени полёта снаряда имеем:
$$t=\cfrac{2v_0(\alpha)\cos(\alpha+\varphi)}{g\cos\varphi}=\cfrac{2\sin\alpha\cos(\alpha+\varphi)}{\omega\cos\varphi}{.}
$$Воспользуемся преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму:
$$2\sin\alpha\cos(\alpha+\varphi)=\sin(\alpha-(\alpha+\varphi))+\sin(\alpha+(\alpha+\varphi))=\sin(2\alpha+\varphi)-\sin\varphi{.}
$$Максимальное значение $\sin(2\alpha+\varphi)=1$.
Аналогично преобразованию произведения тригонометрических функций в сумму, можно найти максимальное значение $t$, продифференцировав полученное выражение по $\alpha$:
$$\cfrac{dt}{d\alpha}=\cfrac{2}{\omega\cos\varphi}\cfrac{d(\sin\alpha\cos(\alpha+\varphi))}{d\alpha}=0
$$Отсюда:
$$\cos\alpha\cos(\alpha+\varphi)-\sin\alpha\sin(\alpha+\varphi)=\cos(2\alpha+\varphi)=0{.}
$$Таким образом:
$$2\alpha+\varphi=\cfrac{\pi}{2}\Rightarrow \alpha=\cfrac{\pi}{4}-\cfrac{\varphi}{2}.
$$Тогда максимальное время $t_{max}$ составляет:
Третий способ:
Четвёртый способ:
Решим задачу классическим способом – используя зависимости координат $x$ и $y$ от времени $t$:
$$x=v_{0x}t=v_0\sin\alpha t\qquad y=v_{0y}t-\cfrac{gt^2}{2}=v_0\cos\alpha t-\cfrac{gt^2}{2}{.}
$$В момент падения камня на горку $y/x=\operatorname{tg}\varphi$. Отсюда:
$$\operatorname{tg}\varphi=\cfrac{y}{x}=\cfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}-\cfrac{gt}{2v_0\sin\alpha}=\cfrac{1}{\operatorname{tg}\alpha}-\cfrac{\omega t}{2\sin^2\alpha}{.}
$$Введём переменную $z=\operatorname{ctg}\alpha$. Учитывая, что $1/\sin^2\alpha=1+\operatorname{ctg}^2\alpha=1+z^2$, получим:
$$t=\cfrac{2}{\omega}\cfrac{z-\operatorname{tg}\varphi}{1+z^2}=\cfrac{2f(z)}{\omega}{.}
$$Время $t$ принимает значение, когда максимальное значение принимает функция $f(z)$. Определим величину $z_0$, соответствующую максимальному значению $f(z)$:
$$\cfrac{df(z_0)}{dz}=\cfrac{1+z^2_0-2z_0(z_0-\operatorname{tg}\varphi)}{(1+z^2_0)^2}=0\Rightarrow z^2_0-2z_0\operatorname{tg}\varphi -1=0{.}
$$Решая квадратное уравнение, получим:
$$z_0=\operatorname{tg}\varphi\pm\sqrt{\operatorname{tg}^2\varphi+1}\Rightarrow z_0=\cfrac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}{.}
$$Таким образом:
$$f_{max}=f(z_0)=\cfrac{\left(\cfrac{1}{\cos\varphi}+\operatorname{tg}\varphi-\operatorname{tg}\varphi\right)}{1+\left(\cfrac{1+\sin\varphi}{\cos\varphi}\right)^2}=\cfrac{\cos\varphi}{2(1+\sin\varphi)}{.}
$$
Максимальное значение $f(z)$ может быть найдено из без использования производной. Действительно:
$$\cfrac{z-\operatorname{tg}\varphi}{1+z^2}=f(z)\Rightarrow z^2f(z)-z+f(z)+\operatorname{tg}\varphi=0{.}
$$Исследуем дискриминант полученного уравнения:
$$D=1-4f(z)(f(z)+\operatorname{tg}\varphi)\geq 0
$$Максимально возможное значение $f(z)$ соответствует равному нулю дискриминанту. Отсюда:
$$4f^2(z)+4f(z)\operatorname{tg}\varphi-1=0\Rightarrow f_{max}=-\cfrac{\operatorname{tg}\varphi}{2}+\cfrac{\sqrt{1+\operatorname{tg}^2\varphi}}{2}=\cfrac{1-\sin\varphi}{2\cos\varphi}{.}
$$
Окончательно: