| 1 Отмечено, что проекции скоростей на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударений, поскольку трения между шайбами и барабаном отсутствует. | 0.50 |
|
|
2
Для первого соударения барабана с шайбой $1$ записан закон сохранения импульса в проекции на ось $y$, направленную вдоль линии центров от шайбы $1$ к центру барабана: $$ mv_0\cos\alpha=Mv_{M1}+mv_{1y}, $$где $\alpha$ – угол между вектором скорости шайбы $1$ и линией центров, $v_{M1}$ – скорость барабана после удара, $v_{1y}$ – проекция скорости шайбы $1$ на ось $y$ после удара. |
1.00 |
|
|
3
Для первого соударения барабана с шайбой $1$ записан закон сохранения энергии: $$ \cfrac{mv^2_0}{2}=\cfrac{mv^2_{1y}}{2}+\cfrac{mv^2_0\sin^2\alpha}{2}+\cfrac{Mv^2_{M1}}{2}{.} $$ |
1.00 |
|
| 4 Записано или используется в решении выражение для угла или какой-либо его тригонометрической функции, например, $\cos\alpha =\cfrac{S}{2R}$ | 0.50 |
|
|
5
Получено выражение для скорости барабана после первого удара $$v_{M1}=\cfrac{2mv_0\cos\alpha}{m+M}=\cfrac{4}{3}v_0\cos\alpha $$ |
0.50 |
|
|
6
Получено выражение для проекции скорости шайбы $1$ после удара: $$v_{1y}=\cfrac{(m-M)v_0\cos\alpha}{m+M}=\cfrac{1}{3}v_0\cos\alpha $$ |
0.50 |
|
|
7
Записано условие, при котором не будет столкновения между шайбой $2$ и барабаном: $$v_{M1}\cos 2\alpha+v_0\cos\alpha<0\Rightarrow \cos\alpha<\cfrac{1}{2\sqrt{2}}{.} $$ |
0.50 |
|
| 8 Проверено, что условие отсутствия столкновения между шайбой $2$ и барабаном выполнено: $$\cos\alpha=\cfrac{1}{4}<\cfrac{1}{2\sqrt{2}}{.}$$ Сделан вывод, что в заданной системе трех тел произошло суммарно всего одно столкновение | 0.50 |
|
|
9
Получено выражение для искомой скорости налетающих шайб: $$ u_1=v_{M1}\Rightarrow v_0=3u_1{.} $$ |
1.00 |
|
| 1 Указано, что при $S=R$ происходит столкновение барабана с шайбой $2$. | 0.50 |
|
|
2
Для первого соударения барабана с шайбой $2$ записан закон сохранения импульса в проекции на ось $z$, направленную вдоль линии центров от шайбы $2$ к центру барабана: $$ mv_0\cos\alpha-Mv_{M1}\cos 2\alpha=Mv_{M2z}+mv_{2z}{.} $$ |
1.00 |
|
|
3
Для первого соударения барабана с шайбой $2$ записан закон сохранения энергии: $$ \cfrac{mv^2_0}{2}+\cfrac{Mv^2_{M1}}{2}=\cfrac{mv^2_{2z}}{2}+\cfrac{mv^2_0\sin^2\alpha}{2}+\cfrac{Mv^2_{M2z}}{2}+\cfrac{Mv^2_{M1}\sin^2 2\alpha}{2}{.} $$ |
1.00 |
|
|
4
Получено выражение для проекции скорости барабана на ось $z$ после удара: $$v_{M2z}=\cfrac{2mv_0\cos\alpha+(m-M)v_{M1}\cos 2\alpha}{m+M}=\cfrac{8}{9}v_0\cos\alpha(1+\cos^2\alpha){.} $$ |
1.00 |
|
|
5
Записано условие, при котором не будет второго столкновения между шайбой $1$ и барабаном: $$ v_{M1}\sin^2 2\alpha-v_{M2z}\cos 2\alpha-v_{1y}>0{.} $$ |
0.50 |
|
| 6 Проверено, что при $\cos\alpha = 1/2$ условие выполнено, и в заданной системе трех тел произошло суммарно два столкновения. | 0.50 |
|
|
7
Записано выражение для итоговой скорости барабана: $$ u_2^2=v_{M1}^2\sin^2 2\alpha+v_{M2z}^2{.} $$ |
0.50 |
|
|
8
Получен ответ для итоговой скорости барабана: $$ u_2=\cfrac{2\sqrt{13}v_0}{9}=\cfrac{2\sqrt{13}u_1}{3}{.} $$ |
1.00 |
|