Определим скорость барабана после соударения с шайбой $1$. Поскольку трения между шайбами и барабаном нет – все их удары центральные, и движение всех тел остается поступательным, а проекции скоростей тел на ось, перпендикулярную линии центров, остаются постоянными в процессе соударения.
Введём вдоль линии центров ось $y$, направленную от шайбы $1$ к центру барабана. Пусть $\alpha$ – угол между вектором скорости шайбы $1$ и линией центров. Запишем систему из закона сохранения импульса в проекции на ось $y$ и закона сохранения энергии:
$$\begin{cases}
mv_0\cos\alpha=Mv_{M1}+mv_{1y}\quad\text{ЗСИ}\\
\cfrac{mv^2_0\cos^2\alpha}{2}+\cfrac{mv^2_0\sin^2\alpha}{2}=\cfrac{mv^2_{1y}}{2}+\cfrac{mv^2_0\sin^2\alpha}{2}+\cfrac{Mv^2_{M1}}{2}\quad\text{ЗСЭ}
\end{cases}
$$Решая записанную систему уравнений, находим:
$$v_{M1}=v_0\cos\alpha+v_{1y}=2v_0\cos\alpha-\cfrac{Mv_{M1}}{m}\Rightarrow v_{M1}=\cfrac{2mv_0\cos\alpha}{m+M}{.}
$$Получим условие, при котором будет столкновение между шайбой $2$ и барабаном. Если ввести ось $z$, направленную от шайбы $2$ к центру барабана, то условие столкновения будет заключаться в том, что проекция скорости барабана относительно шайбы $2$ на ось $z$ будет отрицательной, т.е при условии:
$$v_{z(\text{отн})}=-v_{M1}\cos 2\alpha-v_0\cos\alpha=-v_0\cos\alpha\left(1+\cfrac{2m\cos 2\alpha}{m+M}\right)<0{.}
$$Поскольку $\cos\alpha>0$, данное условие можно записать следующим образом:
$$1+\cfrac{2m\cos 2\alpha}{m+M}=1+\cfrac{2m(2\cos^2\alpha-1)}{m+M}>0\Rightarrow\cos\alpha=\cfrac{S}{2R}>\sqrt{\cfrac{1}{4}\left(1-\cfrac{M}{m}\right)}=\cfrac{1}{2\sqrt{2}}{,}
$$или же при условии:
$$S>\cfrac{R}{\sqrt{2}}{.}
$$Данное условие не выполнено при $S_1=R/2$, поэтому столкновения между барабаном и шайбой $2$ не будет, а значит $v_{M1}=u_1$:
$$u_1=\cfrac{mv_0}{m+M}\cfrac{S_1}{R}=\cfrac{v_0}{3}{.}
$$Таким образом:
При $S_2=R$ столкновение между барабаном и шайбой $2$ будет, при этом $\alpha_2=60^\circ$.
В системе отсчёта, движущейся со скоростью $\vec{v}_{M1}$, соударение сводится к рассмотренному ранее. В данной системе отсчёта проекция $v_{2z}$ скорости шайбы $2$ на ось $z$ равняется:
$$v_{2z}=v_0\cos\alpha+v_{M1}\cos 2\alpha=\cfrac{v_0}{2}+\cfrac{2v_0}{3}\left(-\cfrac{1}{2}\right)=\cfrac{v_0}{6}{.}
$$В указанной системе отсчёта скорость барабана сразу после соударения равна:
$$v_{M2}=\cfrac{2mv_{2y'}}{m+M}=\cfrac{2v_0}{9}{.}
$$Обратим внимание, что проекция скорости $\vec{v}_{M2}$ на ось $y$ является положительной, а значит, повторного столкновения барабана с шайбой $1$ не будет.
Для скорости $u_2$ имеем:
$$u_2=\sqrt{v^2_{M1}+v^2_{M2}-2v_{M1}v_{M2}\cos 2\alpha}{,}
$$откуда: