Пусть $\vec{T}$ – сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии:
$$\vec{T}+m\vec{g}+\lambda L\vec{E}=0{.}
$$Введём систему координат $xy$, где ось $x$ направлена вправо, а ось $y$ – вертикально вверх. Тогда из условия равновесия:
$$E_y=\cfrac{mg}{\lambda L}\qquad E_x=\cfrac{T}{\lambda L}{.}
$$Свяжем силы натяжения нити $T_0=mg$ в точке крепления груза и $T$ в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.
Первый способ:
Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует.
Сдвинем нить вдоль трубки на величину $dl$ в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной $dl$ из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится.
Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна:
$$\delta{A}=Tdl-T_0dl=Tdl-mgdl{.}
$$Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле:
$$\delta A=dW_p{.}
$$Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной $dl$ из точки крепления груза в точку крепления нити – изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити:
$$dW_p=\lambda dl(\varphi-\varphi_0)=\lambda dl\Delta\varphi{,}
$$где $\varphi$ и $\varphi_0$ – потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно.
Для изменения потенциала $\Delta\varphi$ имеем:
$$\Delta\varphi=-E_x(x-x_0)-E_y(y-y_0){.}
$$Поскольку $x-x_0=-S$, а $y-y_0=H$, для изменения потенциала $\Delta\varphi$ находим:
$$\Delta\varphi=E_xS-E_yH{.}
$$Таким образом:
$$T-mg=\lambda (E_xS-E_yH){.}
$$
Второй способ:
Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной $dl$. Условие его равновесия записывается следующим образом:
$$\bigl(\vec{T}+d\vec{T}\bigr)-\vec{T}+\vec{E}\lambda dl=0{.}
$$Проецируя на направление касательной к нити, получим:
$$dT+\lambda E_\parallel dl=0{.}
$$Пусть касательная к нити образует угол $\varphi$ с вертикалью. Тогда для $E_\parallel$ имеем:
$$E_\parallel=E\cos\varphi-E\sin\varphi{,}
$$откуда:
$$dT+E_y\lambda dl\cos\varphi-E_x\lambda dl\sin\varphi=0{.}
$$Но при этом $dl\cos\varphi=dy$, а $dl\sin\varphi=-dx$, откуда:
$$dT+E_y\lambda dy+E_x\lambda dx=0{.}
$$Суммируя, получим:
$$T-T_0=T-mg=-E_y\lambda(y-y_0)-E_x\lambda(x-x_0){.}
$$Поскольку $y-y_0=H$, а $x-x_0=-S$, получим:
$$T-mg=\lambda(E_xS-E_yH){.}
$$
Но поскольку $T=\lambda LE_x$:
$$\lambda LE_x-mg=\lambda (SE_x-HE_y)=\lambda SE_x-\lambda H\cdot\cfrac{mg}{\lambda L}\Rightarrow E_x=\cfrac{mg}{\lambda L}\cfrac{L-H}{L-S}{.}
$$Для напряжённости электростатического поля имеем:
$$E=\sqrt{E^2_x+E^2_y}{,}
$$откуда: