Logo
Logo

Надувательство

1  1.50 Определите площадь поперечного сечения трубки при атмосферном давлении с точностью не хуже 5\%. Оцените погрешность измерения.

Подключим к трубке шприц. Погрузим свободный конец трубки в воду. Двигая поршень шприца, наберем в трубку $V_0 = (7{,}0\pm0{,}2) \ мл$ воды. Измерим длину столба воды в трубке $h_0=(97{,}1 \pm 0{,}2)$ см (трубка при измерениях должна быть расположена горизонтально).
Рассчитаем площадь поперечного сечения трубки:

$$
S_0=\frac{V_0}{h_0}=(0{,}072\pm0{,}002) \ см^2.
$$

Погрешность измерения оценим, сложив относительные погрешности измерения объема и площади. Заметим при этом, что относительная погрешность измерения длины много меньше относительной погрешности измерения объема.

$$
\sigma_{S_0}=S_0\Big(\frac{\sigma_{V_0}}{V_0}+\frac{\sigma_{h_0}}{h_0}\Big)
$$

Заполнять трубку можно и другим способом: набрать в шприц 10 мл воды, подключить к шприцу пустую трубку и, нажимая на поршень шприца, заполнить трубку водой. Такой способ не является ошибочным. Однако опытным путем можно установить, что при таком способе заполнения в столбике воды в трубке чаще образуются пузыри воздуха, особенно в случае загрязненной внутренней поверхности трубки.

2  18.50 Определите коэффициент $\alpha$, используя графическую обработку данных. Измерения проведите в диапазоне разницы давлений от $0$ до не менее чем $1{,}0\cdot10^5\ Па$, сняв не менее 5 экспериментальных точек, не включая точку с нулевым избыточным давлением.

Опустошим трубку. Вновь погрузим свободный конец трубки в воду. Двигая поршень шприца, наберем в трубку приблизительно 4 мл воды. Вытащим свободный конец трубки из воды и переместим с помощью шприца столбик воды ближе к шприцу так, чтобы расстояние от края столбика воды до свободного конца трубки было приблизительно равно длине столбика воды. Вставим в открытый конец трубки пробку. Отключим шприц от трубки. Измерим длину столба воздуха $l_0=(40{,}2\pm0{,}1) \ см$ в трубке, заключенного между местом пережатия трубки и краем столбика воды. Приклеим на поверхность стола мерную ленту, к которой сверху приклеим исследуемую трубку в распрямленном состоянии (см. рис. 2). Подсоединим шприц к оставшемуся открытым концу трубки.

Обозначим координату ближнего к шприцу края столба жидкости в трубке за $x_1$, а дальнего — $x_2$. Будем надавливать на поршень шприца и измерять величины: $x_1$ и $x_2$.

$x_1$, см$x_2$, см$\Delta p, 10^5 \ Па$$\sigma_{\Delta p}, 10^5 \ Па$$\frac{\Delta S}{S_0}, \ 10^{-2}$
4,860,20,0000,0000,00
9,264,10,0970,0030,90
13,267,60,2030,0051,81
16,670,50,3080,0062,71
20,874,00,4620,0083,97
24,476,80,6110,0115,42
29,380,50,8670,0167,58

Объем воды в трубке в течение эксперимента не меняется.

$$
(x_{20}-x_{10})S_0=(x_{2}-x_{1})(S_0+\Delta S),
$$
где $x_{10}$, $x_{20}$ - координаты столба жидкости при атмосферном давлении.

Тогда через изменения длины столбика воды в трубке легко вычислить относительное изменение ее сечения:

$$
\frac{\Delta S}{S_0}=\frac{x_{20}-x_{10}}{x_{2}-x_{1}}-1
$$

Изменение давления в системе можно определить по изменению объема воздуха в трубке, ограниченного столбом воды и местом пережатия трубки. Воспользуемся для этого законом Менделеева-Клапейрона:
$$
p_0 l_0 S_0=p (l_0-(x_2-x_{20})) (S_0+\Delta S).
$$

Тогда для избыточного давления внутри шприца имеем:

$$
\Delta p=p-p_0=p_0\Big(\frac{l_0}{l_0-(x_2-x_{20})}\frac{S_0}{S_0+\Delta S}-1\Big).
$$

Подставляя выражение для отношения площадей получаем:

$$
\Delta p=p-p_0=p_0\Big(\frac{l_0}{l_0-(x_2-x_{20})}\frac{x_{2}-x_{1}}{x_{20}-x_{10}}-1\Big).
$$

Рассчитаем величины относительного изменения сечения трубки и изменения давления в ней.

Погрешность относительного изменения сечения трубки рассчитаем, просуммировав относительные погрешности начальной и текущей длин столбика воды в трубке.
$$
\sigma_{\frac{\Delta S}{S_0}}=\Big(\frac{\Delta S}{S_0}+1\Big)\Big(\frac{2\sigma_x}{x_{10}-x_{20}}+\frac{2\sigma_x}{x_{2}-x_{1}}\Big)
$$
где $\sigma_x = 0{,}5 \ мм$ - половина цены деления шкалы мерной ленты.

С учетом того, что $\frac{\Delta S}{S_0}\ll 1$ и $x_{2}-x_{1}\approx x_{10}-x_{20}$ можно сказать, что погрешность относительного изменения сечения практически не меняется и может быть вычислена как:

$$
\sigma_{\frac{\Delta S}{S_0}}=\frac{4\sigma_x}{x_{10}-x_{20}}=0{,}4\cdot10^{-2}
$$

Погрешность изменения давления рассчитаем по следующей формуле:
$$
\sigma_{\Delta p}=(p_0+\Delta p)\Big(\frac{4\sigma_x}{x_{10}-x_{20}}+\frac{\frac{2\sigma_x}{x_2-x_{20}}+\frac{\sigma_{l_0}}{l_0}}{1-\frac{x_2-x_{20}}{l_0}}\frac{x_2-x_{20}}{l_0}\Big).
$$

Построим график зависимости $\frac{\Delta S}{S_0}(\Delta p)$. Видно, что график можно описать прямой пропорциональностью с угловым коэффициентом:
$$
\alpha=(8{,}7\pm0{,}3)\cdot 10^{-7} \ Па^{-1}.
$$
Относительная ошибка измерения $\alpha$ составляет $\varepsilon_\alpha\approx3{,}4\%$.

Можно предположить, что учет изменения сечения трубки для подсчета давления в системе, мало повлияет на расчетную величину $\alpha$. То есть провести расчет избыточных давлений по формуле:

$$
\Delta p=p-p_0=p_0\Big(\frac{l_0}{l_0-(x_2-x_{20})}-1\Big).
$$
Однако величина $\alpha$, полученная при таком способе расчета, будет отличаться от результата, полученного с учетом изменения площади сечения, на $\approx15\%$, что существенно превышает рассчитанную относительную ошибку измерения.

Заметим, что измерение давления в системе можно проводить, наблюдая за количеством воздуха в шприце. Для этого необходимо часть шприца заполнить водой, а в части шприца оставить воздух. Далее создавать давление в системе необходимо будет, держа шприц вертикально и надавливая на его поршень. Часть воды из шприца будет поступать в трубку, а воздух в верхней части шприца будет сжиматься под действием давления. Измеряя отношение объема воздуха в шприце под давлением к начальному объему воздуха в нем, можно рассчитать давление в системе. Длина столба воздуха в таких измерениях существенно меньше возможной длины столба воздуха в трубке. Поэтому этот способ измерения давления обладает гораздо меньшей точностью. Также заметим, что стенки шприца достаточно жесткие, однако, если заполнить его водой полностью и попробовать сдвинуть поршень при заткнутом носике, то поршень все же немного сдвинется. Это происходит из-за деформации резиновой прокладки между поршнем и резервуарной частью шприца. Этот эффект меньше цены деления шприца, поэтому им можно пренебречь.