Pho.rs: Конечная цепь

A1 ^0.50 Запишите уравнение, связывающие токи $I_{i-1},I_{i},I_{i+1}$ в виде $$ I_{i+1} + \alpha I_{i} + \beta I_{i-1}=0 $$

II правило Кирхгофа:
\[R(I_{i-1}-I_{i})=I_{i}r+R(I_{i}-I_{i+1})\]

Ответ: $$I_{i+1}-I_{i}\cfrac{2R+r}{R}+I_{i-1}=0$$

A2 ^0.50 Получите уравнение на $\lambda$.

$$I_n=\lambda^n$$$$\lambda^{i+1}+\alpha\lambda^{i}+\beta\lambda^{i-1}=0$$

Ответ: \[\lambda^{2}+\alpha\lambda+\beta=0\]

A3 ^0.50 Найдите все решения уравнения на $\lambda$.

Ответ: \[\lambda_{1,2}=\cfrac{-\alpha\pm\sqrt{\alpha^2-4\beta}}{2}\]

A4 ^1.50 Пусть в цепь втекает ток $I_0$, а всего в ней $N$ пар резисторов $r$ и $R$. Чему равны константы $C_1$ и $C_2$?

Первое условие для $n=0$
\[I_0=C_1+C_2\]Второе условие для последнего звена:
\[I_{N} = 0\Rightarrow C_1\lambda_1^{N} = -C_2\lambda_2^{N}\]

Ответ: \[C_1=\dfrac{I_0}{1-\left(\dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{N}}\]\[C_2=\dfrac{I_0}{1-\left(\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{N}}\]

A5 ^1.00 Пусть в цепь втекает ток $I_0$ и она бесконечна. Чему равны константы $C_1$ и $C_2$?

Посмотрим на коэффициенты $\alpha$ и $\beta$:
\[\alpha=-\dfrac{2R+r}{R}\]\[\beta=1\]

Не трудно заметить, что $\alpha\in[-3;-2]$; $\beta=1$, поэтому:
\[\lambda_1\in[1;2.62]\]\[\lambda_2\in[0.38;1]\]

Ответ: Поэтому при $N\to\infty$:
\[C_1=0\]\[C_2=I_0\]

B1 ^0.20 Измерьте сопротивления двух типов выданных Вам резисторов $R$ и $r$, $r < R$.

Ответ: \[R=504\;\Omega\]\[r=98.0\;\Omega\]

B2 ^2.00 Для $5$-ти различных $N>3$ проведите измерения напряжения $U_n$ падающего на резисторе $r$ в $n$-ом звене.

$N$	9	8	7	6	5
$n$	$U_n, В$	$U_n, В$	$U_n, В$	$U_n, В$	$U_n, В$
1	6.06	5.91	5.74	5.68	5.71
2	3.90	3.63	3.69	3.71	3.78
3	2.52	2.44	2.40	2.44	2.59
4	1.64	1.60	1.61	1.68	1.91
5	1.10	0.94	1.13	1.27	1.59
6	0.68	0.72	0.83	1.06
7	0.48	0.45	0.70
8	0.37	0.36
9	0.29

B3 ^1.50 Постройте линеаризованные графики из них определите $r/R$. Сравните полученное значение с измеренным непосредственно.

\[U_n = I_{n}r\]\[U_n = (C_1\lambda_1^n+C_2\lambda_2^n)r\]

В условии сказано, что экспоненциально растущий член не сильно сказывается при небольших $n$, поэтому:
\[U_n=C_2r\lambda_2^n\]\[\ln \dfrac{U_n}{U_1} = \ln \dfrac{C_2r}{U_1} + n\ln\lambda_2\]

Ответ:

Ответ: \[\ln\lambda_2=-0.424\]\[\lambda_2 = \dfrac{2+x-\sqrt{x^2+4x}}{2},\]где $x=\dfrac{r}{R}$
\[\dfrac{r}{R}=0.18\]

B4 ^0.30 Из графиков определите длину $N_t$ «хвоста» зависимости $U_n(n)$, в которой малый экспоненциально растущий член сравним с большим экспоненциально падающим.

Ответ: \[N_t\approx3\]

C1 ^1.00 Проведите измерения зависимости сопротивления $R_n$ цепи, состоящей их $n$ звеньев, рассмотренных в первой части задачи. Постройте график этой зависимости.

Ответ:

$n$	1	2	3	4	5	6	7
$R_n, \Omega$	603	373	313	291	282	280	279
$\cfrac{R_n-R_{\infty}}{R_{\infty}}, \%$	118	34.9	13.2	5.24	1.99	1.27	0.90

Ответ:

C2 ^0.50 Укажите при каком $n$ сопротивление $R_n$ отличается от $R_\infty$ меньше, чем на $10$%

Ответ: $n>4$

C3 ^0.50 Укажите при каком $n$ сопротивление $R_n$ отличается от $R_\infty$ меньше, чем на $5$%

Ответ: $n>5$

Конечная цепь

Решение