A1  ^3.00 Предложите метод определения времени $\tau$ соударения шарика с твёрдой поверхностью, при падении без начальной скорости с высоты $H$

С высоты $H$ будем бросать теннисный шарик на копировальную бумагу. Измеряя диаметр пятна $d$ и $H$ можно получить искомую зависимость $\tau(H)$

\[m\ddot{x}+kx=0\]\[\ddot{x}+\omega^2x=0\]

Решение этого уравнения будет
\[x(t) = A\sin(\omega t+\varphi)\]\[v(t) = A\omega\cos(\omega t)\]

Из граничных условий $x(0)=0$ и $v(0) = \sqrt{2gH}$ получим:
\[x(t) = \dfrac{\sqrt{2gH}}{\omega}\sin(\omega t)\]

Отсюда получим
\[\tau = \dfrac{\pi}{\omega}\]

\[x_{\max}=\dfrac{\sqrt{2gH}}{\omega}\]

Из геометрии получим соотношение:
\[\dfrac{d^2}{4}+(R-x_{\max})^2=R^2\]\[d^2=8Rx_{\max}\]

\[\dfrac{\pi d^2}{\tau} = 8 R \sqrt{2gH}\]

A2  ^4.20 Снимите зависимость $\tau(H)$

A3  ^2.80 Постройте график этой зависимости