Пусть $R$ – сопротивление рамки, а $\Phi$ – поток индукции магнитного поля, пронизывающего рамку. Поскольку индуктивностью рамки можно пренебречь, для силы тока $I_1$ из закона электромагнитной индукции Фарадея находим:
$$I_1=-\cfrac{\dot\Phi}{R}{.}
$$Поскольку рамка выполнена из тонкой проволоки, а величины $a$ и $b$ во много раз меньше $x_0$, то индукцию магнитного поля провода можно считать постоянной по всей поверхности, натянутой на контур рамки, и равной $B(x)$, поэтому $\Phi\approx B(x)ab$. Тогда имеем:
$$I_1=-\cfrac{ab}{R}\cfrac{dB(x)}{dt}=-\cfrac{\mu_0ab}{2\pi R}\cfrac{d}{dt}\left(\cfrac{I}{x}\right){,}
$$откуда:
$$F_x=\left(\cfrac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\cfrac{I}{Rx^2}\cfrac{d}{dt}\left(\cfrac{I}{x}\right)
$$
Рассмотрим увеличение силы тока в проводе. Поскольку это увеличение происходит очень быстро, движением рамки и её смещением за время увеличения силы в проводе до максимального значения можно пренебречь. Тогда для силы $F_x$ имеем:
$$F_x\approx \left(\cfrac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\cfrac{I}{Rx^3}\cfrac{dI}{dt}{.}
$$Пусть $m$ и $v_x$ – масса рамки и проекция её скорости на ось $x$ соответственно. Из закона изменения импульса для рамки имеем:
$$m\cfrac{dv_x}{dt}=\left(\cfrac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\cfrac{I}{Rx^3}\cfrac{dI}{dt}{.}
$$Умножим закон изменения импульса для рамки на $dt$:
$$mdv_x=\left(\cfrac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\cfrac{IdI}{Rx^3}{.}
$$Проинтегрируем полученное выражение, обозначив за $I_0$ максимальную величину силы тока в проводе:
$$\int\limits_0^{v_0}mdv_x=mv_0=\int\limits_0^{I_0}\left(\cfrac{\mu_0ab}{2\pi}\right)^2\cfrac{IdI}{Rx^3_0}=\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\cfrac{1}{2Rx^3_0}{.}
$$Отметим, что рамка начинает удаляться от провода после достижения в нём максимального значения силы тока.
Проанализируем дальнейшее движение рамки. Для этого получим выражение для силы $F_x$ при постоянном значении силы тока в проводе $I=I_0$:
$$F_x=\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\cfrac{1}{Rx^2}\cfrac{d}{dx}\left(\cfrac{1}{x}\right)=-\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\cfrac{1}{Rx^4}\cfrac{dx}{dt}{.}
$$Запишем закон изменения импульса для рамки:
$$m\cfrac{dv_x}{dt}=-\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\cfrac{1}{Rx^4}\cfrac{dx}{dt}
$$Умножим закон изменения импульса для рамки на $dt$:
$$mdv_x=-\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\cfrac{dx}{Rx^4}{.}
$$Проинтегрируем полученное выражение в предположении, что рамка удаляется бесконечно далеко от провода, обозначив за $v_{1x}$ проекцию скорости рамки на ось $x$ на бесконечном удалении от провода. Поскольку скорость рамки уменьшается, предположение окажется оправданным в том случае, если величина $v_{1x}$ окажется положительной. Имеем:
$$m(v_{1x}-v_0)=-\cfrac{1}{R}\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2\int\limits_{x_0}^{\infty}\cfrac{dx}{x^4}=-\cfrac{1}{3Rx^3_0}\left(\cfrac{\mu_0abI_0}{2\pi}\right)^2=-\cfrac{2mv_0}{3}{.}
$$Отсюда:
$$v_{1x}=\cfrac{v_0}{3}
$$Поскольку $v_{1x}>0$, рамка в процессе движения после достижения силой тока в проводе максимального значения никогда не останавливалась, а значит, полученное значение является ответом на вопрос задачи. Если бы величина $v_{1x}$ оказалась отрицательной, то скорость рамки и расстояние между рамкой и проводом асимптотически стремились бы к нулю и к постоянному значению соответственно.
Таким образом: