1  ^?? Рассмотрим процесс повышения уровня ртути в сосуде. При каком значении уровня $h_1$ ртути в сосуде поршень пришёл в движение?

0 Записано условие сдвига поршня из начального положения: $$ (h_1+h_0) \rho g =p_1. $$	0.50
2 Записано выражение для изотермического процесса: $pV = const$ или аналогичное ($p_1 L= p_2 (L-x)$).	0.50
3 Записано выражение для давления ртути на поршень: $$p_р=p_0+\rho g(h+x) = \rho g (h_0+h+x){.} $$	0.50
4 Получено условие равновесия поршня для уровня ртути $ h_{max}$ : $$ \rho g(h_0+h_{max}+x_{max}) = \cfrac{p_1L}{L-x_{max}}{.} $$	0.50
5 Получено ответ на первый вопрос задачи (по $0{.}25$ балла за выражение и численное значение): $$h_1=\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}-h_0=380~мм{.} $$Аналитический ответ засчитывается при его записи только через величины $h_0, h_{max}, x_{max}, L$.	2 × 0.25

2  ^?? Пусть уровень ртути в сосуде в процессе его повышения составил $h_1+\Delta h$, где $0<\Delta h\ll h_1$. Найдите возможные значения $x_1$ между поршнем и упорами.

1 Составлено квадратное уравнение, определяющее положения равновесия поршня при смещенном значении $h_1+\Delta h$: $$x^2-x(L-h_0-h_1-\Delta h) - L \Delta h=0{.} $$	0.40
2 Указано, что при $\Delta h > 0$ один из корней отрицательный.	0.40
4 Получен ответ (по $0{.}35$ балла за выражение и численное значение): $$x_1=L-\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}=1,9~м{.} $$– Балл выставляется, если указано, что положение равновесия является единственным. – Аналитический ответ засчитывается при его записи только через величины $h_0, h_{max}, x_{max}, L$.	2 × 0.35

3  ^?? На каком расстоянии $x_2$ до упоров будет находиться поршень, когда уровень ртути в сосуде понизится до его дна? Ответ обоснуйте.

2 Относительно $x$ решено квадратное уравнение при $h=0$: $$x^2-x(L-h_0) + L h_1=0{.} $$Найдены положения равновесия (по $0{.}35$ балла за каждый из ответов): $$x_{2(1{,}2)}=\cfrac{L-h_0\pm\sqrt{(L-h_0)^2-4Lh_1}}{2}=0{,}76~м{;}~1{,}52~м{.} $$	2 × 0.35
3 Идея проверки положения равновесия на устойчивость.	1.00
4 Доказано, что положение равновесия поршня будет устойчивым при $x_{2(2)} =1{,}52~м$.	1.00
7 Сделан вывод, что поршень остановится в положении $x_{2(2)}=1{,}52~м$, т.к. это первое устойчивое положение равновесия на его пути движения. Либо проанализирована на устойчивость точка $x_{2(1)} = 0{,}76~м$, и указано, что поршень не переместится в устойчивое положение $x=0$.	0.80
9 Получен обоснованный ответ: $$x_2=\cfrac{L-h_0+\sqrt{(L-h_0)^2-4(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}}{2}=1{,}52~м{.} $$ – Балл засчитывается при наличии доказательства устойчивости. – Балл засчитывается при наличии аналитического ответа. – Аналитический ответ засчитывается при его записи только через величины $h_0, h_{max}, x_{max}, L$.	0.50

4  ^?? Ртуть полностью откачали из сосуда и пространства над поршнем, после чего изменили количество воздуха под поршнем. Далее процессы повышения и понижения уровня в сосуде с помощью трубочки через отверстие повторили. Оказалось, что когда уровень ртути в сосуде достиг величины $h_{max}=1{.}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x'_{max}=1{.}52~м$. При каком значении уровня $h_2$ ртути в сосуде в процессе его понижения поршень достигает упоров?

1 Найдено новое значение давления в трубке: $$\frac{p'_1}{\rho g}=h'_1 +h_0 =\cfrac{(h_0+h_{max}+x'_{max})(L-x'_{max})}{L}=1{,}9~м{.} $$или $$h'_1 =\cfrac{(h_0+h_{max}+x'_{max})(L-x'_{max})}{L} - h_0=1{,}14~м{.} $$	0.50
2 Составлено уравнение, определяющее положения равновесия поршня при произвольном значении $h$ и $x$: $$x^2-x(L-h_0-h) + L (h'_1-h) =0{.} $$	0.50
3 Указано, что если квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, не имеет корней, то единственное положение равновесия $x =0$.	1.50
4 Составлено уравнение, позволяющее найти пограничное значение (корни квадратного уравнения совпадают) $$(L-h_0-h)^2 = 4 L (h'_1-h){.} $$	0.50
5 Получен ответ (по $0{.}5$ балла за выражение и численное значение): $$h_2=2\sqrt{(h_0+h_{max}+x'_{max})(L-x'_{max})}-(L+h_0)\approx 1007~мм{.} $$– Аналитический ответ засчитывается при его записи только через величины $h_0, h_{max}, x'_{max}, L$.	2 × 0.50