1  ^?? Рассмотрим процесс повышения уровня ртути в сосуде. При каком значении уровня $h_1$ ртути в сосуде поршень пришёл в движение?

Пусть $\Delta{p}$ – отличие давления воздуха под поршнем от атмосферного в начале процесса. Поршень придёт в движение, когда давление ртути на поршень сравняется с избыточным давлением воздуха под поршнем, откуда:
$$p_0+\rho gh_1=p_0+\Delta{p}\Rightarrow h_1=\cfrac{\Delta{p}}{\rho g}{.}
$$Температура воздуха под поршнем может считаться постоянной. Поскольку нижняя часть трубы закрыта, количество воздуха под поршнем также будет оставаться постоянным. Тогда, если давление воздуха под поршнем обозначить за $p_в$, его зависимость от $x$ определяется законом Бойля–Мариотта:
$$p_вV=const\Rightarrow p_в=\cfrac{(p_0+\Delta{p})L}{L-x}{.}
$$Пусть уровень ртути в сосуде равен $h$. Тогда давление $p_р$ ртути на поршень составляет:
$$p_р=p_0+\rho g(h+x){.}
$$В положении равновесия давление воздуха под поршнем равно давлению ртути на поршень, поэтому:
$$p_0+\rho g(x+h)=\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{L-x}{.}
$$Когда уровень ртути в сосуде достигает максимального значения $h_{max}$, величина $x=x_{max}$, получаем:
$$\cfrac{\Delta{p}}{\rho g}=h_1=\left(\cfrac{p_0}{\rho g}+x_{max}+h_{max}\right)\left(1-\cfrac{x_{max}}{L}\right)-\cfrac{p_0}{\rho g}{,}
$$или с учётом $p_0/(\rho g)=h_0$:

2  ^?? Пусть уровень ртути в сосуде в процессе его повышения составил $h_1+\Delta h$, где $0<\Delta h\ll h_1$. Найдите возможные значения $x_1$ между поршнем и упорами.

Перепишем условие равновесия поршня в следующем виде:
$$(h_0+h+x)(L-x)=(h_0+h_1)L{.}
$$Раскроем скобки и получим:
$$x^2-(L-h_0-h)x+(h_1-h)L=0{.}
$$Обратим внимание, что при $h>h_1$ свободный член полученного квадратного уравнения является отрицательным, что следует из теоремы Виета, а значит уравнение имеет ровно один положительный корень. Тогда, поскольку нахождение поршня выше упоров не является возможным, при $h>h_1$ поршень имеет единственное положение равновесия.
Так как $\Delta h\ll h_1$, свободный член можно принять равным нулю. Сокращая решение $x=0$, получим:
$$x_1=L-h_0-h_1{,}
$$или же:

3  ^?? На каком расстоянии $x_2$ до упоров будет находиться поршень, когда уровень ртути в сосуде понизится до его дна? Ответ обоснуйте.

После того, как уровень ртути в сосуде окажется ниже верхней части трубы, положение равновесия поршня перестанет изменяться.
Решим квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, при $h=0$:
$$x_{2(1{,}2)}=\cfrac{L-h_0\pm\sqrt{(L-h_0)^2-4Lh_1}}{2}=0{.}76~м{,}~1{.}52~м{.}
$$Таким образом, когда уровень ртути в сосуде понизится до практически нулевого, поршень имеет два положения равновесия и расположится в том из них, которое является устойчивым. Проанализируем оба найденных положения равновесия поршня на устойчивость.

Положение равновесия поршня является устойчивым, если при повышении расстояния между ним и упорами давление воздуха под поршнем становится выше, чем давление ртути на поршень. Если расстояние между поршнем и упорами увеличилось на малую величину $\Delta{x}$, то условия устойчивости положения равновесия поршня можно записать следующим образом:
$$p_0+\rho g(h+x+\Delta x)<\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x-\Delta x}{.}
$$Используя условие равновесия, получим:
$$\rho g\Delta x<\cfrac{(p_0+\Delta{p})L}{L-x-\Delta x}-(p_0+\rho g(h+x))=\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x-\Delta x}-\frac{(p_0+\Delta p)L}{L-x}{,}
$$С учётом малости $\Delta{x}$ имеем:
$$\rho g\Delta x<\cfrac{(p_0+\Delta{p})L\Delta x}{(L-x-\Delta x)(L-x)}\approx\cfrac{(p_0+\Delta p)L\Delta x}{(L-x)^2}\Rightarrow \rho g<\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{(L-x)^2}{.}
$$Определим значения $x$, при которых положения равновесия поршня является устойчивым:
$$L> x>L-\sqrt{\cfrac{(p_0+\Delta p)L}{\rho g}}=L-\sqrt{(h_0+h_1)L}=x_{кр}\approx 1178~мм{.}
$$Таким образом, положение равновесия $x_{2(1)}=760~мм$ является неустойчивым, а $x_{2(2)}=1520~мм$ – устойчивым.
Отметим, что при $h=0$ положение $x=0$ также является положением равновесия, поскольку для данного положения давление воздуха под поршнем будет выше, чем давление ртути на поршень, равное атмосферному. Однако, пока поршень не окажется на расстоянии $x=x_{кр}$ от упоров, он всегда будет располагаться в устойчивом положении равновесия. При этом величина $x$ монотонно возрастает с увеличением уровня $h$ ртути в сосуде. Поскольку найденная при $h=0$ величина $x_{2(2)}>x_{кр}$, то поршень в процессе понижения уровня ртути в сосуде всегда расположен в положении устойчивого равновесия и не может его покинуть.
Таким образом, конечному положению поршня соответствует следующая величина $x_2$:

Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для это построим график зависимости $p_в(x)$ (чёрная линия на рис.), а поверх него — прямые $p_р(x)$ при различных значениях $h$, где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций $p_в(x)$ и $p_р(x)$ соответствуют положениям равновесия поршня. 

Если вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на большую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением $x$ функция $p_в(x)$ возрастает на меньшую величину, чем функция $p_р(x)$, то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым.

Из рисунка видно, что при $h>h_1$ все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия $x=0$ при $h=h_1$ является неустойчивым.

Если мы рассмотрим случай $h=0$ (красная прямая на графике), то точка пересечения $x_{2(1)}=760~мм$ соответствует неустойчивому, а $x_{2(2)}=1520~мм$ – устойчивому положению равновесия.

4  ^?? Ртуть полностью откачали из сосуда и пространства над поршнем, после чего изменили количество воздуха под поршнем. Далее процессы повышения и понижения уровня в сосуде с помощью трубочки через отверстие повторили. Оказалось, что когда уровень ртути в сосуде достиг величины $h_{max}=1{.}52~м$, расстояние между поршнем и упорами составило $x'_{max}=1{.}52~м$. При каком значении уровня $h_2$ ртути в сосуде в процессе его понижения поршень достигает упоров?

Используя результаты решения первого пункта, определим величину $h_1$, при которой поршень приходит в движение:
$$h_1=\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}-h_0= 1140~мм{.}
$$Запишем условие равновесия поршня:
$$x^2-x(L-h_0-h)+L(h_1-h)=0{.}
$$Решению $x=0$ соответствует величина $h=h_1$. Однако при решении второго пункта мы получали, что при $h=h_1$ у поршня существует второе положение равновесия на расстоянии $x_1$ от упоров, равном:
$$x_1=L-\cfrac{(h_0+h_{max}+x_{max})(L-x_{max})}{L}=1140~мм{.}
$$Данное положение является устойчивым, что можно показать, используя критерий устойчивости положения равновесия, полученный при решении четвёртого пункта:
$$x>L-\sqrt{(h_0+h_1)L}=x_{кр}\approx 637~мм{.}
$$Данное условие выполнено при $x=x_1$, поэтому в процессе понижения уровня ртути в сосуде поршень не достигает упоров при $h=h_1$.

При последующем понижении уровня ртути в сосуде у поршня есть два положения равновесия, одно из которых является устойчивым, а другое – неустойчивым. Пока расстояние $x$ между поршнем и упорами удовлетворяет условию $x>x_{кр}$, поршень располагается в положении устойчивого равновесия.
Когда расстояние между поршнем и упорами станет равны $x=x_{кр}$, два положения равновесия поршня, одно из которых является устойчивым, а второе – неустойчивым, совпадут и станут единым положением неустойчивого равновесия по отношению к смещению в сторону упоров. Данное положение соответствует касанию на графиков зависимостей $p_в(x)$ и $p_р(x)$, приведённых в примечании к решению четвёртого пункта задачи. Из этого же графика видна неустойчивость данного положения равновесия поршня по отношению к смещению в сторону упоров.

Таким образом, если при некотором значении $h=h_2$ поршень оказывается в положении $x=x_{кр}$, то при данном значении $h$ во всех положениях, кроме $x=x_{кр}$, давление воздуха под поршнем будет больше, чем давление ртути на поршень (см. рис. ниже), поэтому поршень скачкообразно перемещается в сторону упоров и при дальнейшем понижении уровня ртути в сосуде от них не оторвётся.

Учтём, что касание графиков соответствует наличию единственного корня у квадратного уравнения, получаемого из условия равновесия поршня. Воспользуемся теоремой Виета:
$$2x_{кр}=L-h_0-h_2{.}
$$После подстановки $h_1$ в выражение для $x_{кр}$ находим: