1  ^?? Чему будет равна величина силы тока через второй источник, если полярность первого источника изменить?

Первое решение:

Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника $r_{0(1)}$, подключенного к узлам $A$ и $B$. Для этого заменим второй источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами $A$ и $B$:
$$r_{0(1)}=r_{AB}=\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\cfrac{R_3R_4}{R_3+R_4}{.}
$$Величина силы тока $I_1$, текущего через первый источник, определяется выражением:
$$I_1=\cfrac{\mathcal{E}_{0(1)}+\mathcal{E}_1}{r_{0(1)}}{.}
$$Пусть верхний индекс $(-)$ соответствует величине силы тока через источник при изменённой на противоположную полярности его подключения. Тогда:
$$I^{-}_1=\cfrac{\mathcal{E}_{0(1)}-\mathcal{E}_1}{r_{0(1)}}{.}
$$Из данного выражения видно, что независимость от полярности подключения первого источника величины силы текущего через него тока возможно, если $\mathcal{E}_{0(1)}=0$. Поймём, при каком условии это возможно.
ЭДС $\mathcal{E}_{0(1)}$ эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам $A$ и $B$ вместо первого источника. Показания вольтметра будут равны нулю, если мост, составленный из резисторов с сопротивлениями $R_1$, $R_2$, $R_3$ и $R_4$ будет сбалансирован, откуда получим связь между сопротивлениями резисторов:
$$\cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{R_3}{R_4}{.}
$$Таким образом, сила тока, текущего через первый источник, равна $I_1=\mathcal{E}_1/r_{0(1)}$.

Величина силы тока $I_2$, текущего через второй источник, определяется выражением:
$$I_2=\cfrac{\mathcal{E}_2+\mathcal{E}_{0(2)}}{r_{0(2)}}{.}
$$Обозначим силу тока, текущего через второй источник при изменённой полярности подключения первого источника, за $I'_2$. Поскольку $\mathcal{E}_{0(2)}\sim\mathcal{E}_1$, величина $I'_2$ определяется выражением:
$$I'_2=\cfrac{\mathcal{E}_2-\mathcal{E}_{0(2)}}{r_{0(2)}}{.}
$$Сразу найдём сопротивление эквивалентного источника $r_{0(2)}$, подключённого к узлам $C$ и $D$. Для этого заменим первый источник идеальной перемычкой и рассчитаем сопротивление моста между узлами $C$ и $D$:
$$r_{0(2)}=r_{CD}=\cfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}{.}
$$ЭДС $\mathcal{E}_{0(2)}$ эквивалентного источника равна показаниям идеального вольтметра, подключённого в цепь к узлам $C$ и $D$ вместо второго источника. Показания вольтметра будут равны нулю, поскольку мост является сбалансированным и для подключения вольтметра вместо второго источника. Действительно:
$$\cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{R_3}{R_4}\Rightarrow \cfrac{R_1}{R_3}=\cfrac{R_2}{R_4}{.}
$$Таким образом, величина силы тока, текущего через второй источник и равная $I_2=\mathcal{E}_2/r_{0(2)}$, не зависит от полярности подключения первого источника, а значит:

Второе решение:

Воспользуемся методом наложения токов. Будем искать силы токов в ветвях цепи как суперпозицию сил токов, текущих в данных ветвях под действием одного источника, при условии, что другой источник в силу его идеальности заменён идеальной перемычкой.

Пусть перемычкой заменён второй источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за $I_{1(1)}$ и $I_{2(1)}$ соответственно (см. рис. 3). Тогда при смене полярности подключения первого источника направление тока $I_{1(1)}$, текущего через него, изменится на противоположное, а величина силы тока останется неизменной.

Теперь перемычкой заменим первый источник. Обозначим силы токов, текущих через первый и второй источники при этом, за $I_{1(2)}$ и $I_{2(2)}$ соответственно (см. рис. 4).

Если сила тока $I_{1(2)}$, текущего в перемычке под действием второго источника, не равна нулю, то сохранение величины силы полного тока через первый источник при смене его полярности невозможно. Значит, сила тока $I_{1(2)}$, текущего в перемычке $AB$ под действием второго источника, равна нулю. Это возможно, только если мост является сбалансированным. Тогда имеем следующее соотношение между сопротивлениями:
$$\cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{R_3}{R_4}{.}
$$Обратим внимание, что данное условие также является условием балансировки моста, к которому подключён первый источник, когда второй заменён перемычкой $CD$. Значит, сила тока $I_{2(1)}$, текущего в перемычке $CD$ под действием первого источника, также равна нулю.
Отсюда можно сделать вывод, что силы токов, текущих через первый и второй источники, определяются только величинами ЭДС соответствующих источников и полярностями их подключений. Таким образом, сила тока $I'_2$, текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

Третье решение:

Расставим в исходной схеме токи с учётом закона сохранения заряда. В данной схеме есть 3 независимых тока, поэтому достаточно ввести лишь 3 силы тока $I_1$, $I_2$ и $I_3$ (см. рис. 5).

Применим второе правило Кирхгофа к контуру $CDGE$:
$$\mathcal{E}_2=I_1R_2+I_2(R_1+R_2)-I_3(R_1+R_2){.}
$$Применим второе правило Кирхгофа к контуру $CDHF$:
$$\mathcal{E}_2=I_3(R_3+R_4)-I_1R_4\Rightarrow I_3=\cfrac{I_1R_4+\mathcal{E}_2}{R_3+R_4}{.}
$$Применим второе правило Кирхгофа к контуру $ABGDH$:
$$\mathcal{E}_1=I_3(R_1+R_3)-I_2R_1{.}
$$Исключая $I_3$, получим следующую систему уравнений относительно $I_1$ и $I_2$:
$$\begin{cases}
\mathcal{E}_1=\cfrac{(I_1R_4+\mathcal{E}_2)(R_1+R_3)}{R_3+R_4}-I_2R_1;\\
\mathcal{E}_2=I_1R_2+I_2(R_1+R_2)-\cfrac{(I_1R_4+\mathcal{E}_2)(R_1+R_2)}{R_3+R_4}.
\end{cases}
$$Выразим $I_2$ из первого уравнения системы и подставим во второе:
$$\mathcal{E}_2=I_1R_2-\cfrac{I_1R_4(R_1+R_2)}{R_3+R_4}-\cfrac{\mathcal{E}_2(R_1+R_2)}{R_3+R_4}+\cfrac{I_1R_4(R_1+R_2)(R_1+R_3)}{R_1(R_3+R_4)}+
$$$$+\cfrac{\mathcal{E}_2(R_1+R_2)(R_1+R_3)}{R_1(R_3+R_4)}-\cfrac{\mathcal{E}_1(R_1+R_2)}{R_1}{.}
$$Отсюда:
$$\mathcal{E}_1+\mathcal{E}_2\left(\cfrac{R_1}{R_1+R_2}-\cfrac{R_3}{R_3+R_4}\right)=I_1\left(\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\cfrac{R_3R_4}{R_3+R_4}\right){.}
$$Аналогично выразим $I_1$ из первого уравнения системы и подставим во второе:
$$\mathcal{E}_2=I_2(R_1+R_2)-\cfrac{(\mathcal{E}_1+I_2R_1)(R_1+R_2)}{R_1+R_3}+\cfrac{(\mathcal{E}_1+I_2R_1)(R_3+R_4)R_2}{R_4(R_1+R_3)}-\cfrac{\mathcal{E}_2R_2}{R_4}{.}
$$Отсюда:
$$\mathcal{E}_2+\mathcal{E}_1\left(\cfrac{R_4}{R_2+R_4}-\cfrac{R_3}{R_1+R_3}\right)=I_2\left(\cfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}\right){.}
$$Рассмотрим выражение для силы тока $I_1$. Поскольку при изменении полярности подключения первого источника величина силы тока, текущего через него, не изменяется, коэффициент при $\mathcal{E}_2$ равен нулю. Отсюда:
$$\cfrac{R_1}{R_1+R_2}=\cfrac{R_3}{R_3+R_4}\Rightarrow \cfrac{R_1}{R_2}=\cfrac{R_3}{R_4}{.}
$$Обратим внимание, что в выражении для силы тока $I_2$ коэффициент перед $\mathcal{E}_1$ также равен нулю. Действительно:
$$\cfrac{R_4}{R_2+R_4}-\cfrac{R_3}{R_1+R_3}=\cfrac{R_1R_4-R_2R_3}{(R_2+R_4)(R_1+R_3)}=0{.}
$$Таким образом, величина силы тока $I'_2$, текущего через второй источник при смене полярности подключения первого источника, равна:

2  ^?? Найдите величину силы тока через второй источник, если: а) первый источник удалить из цепи; б) первый источник заменить перемычкой с нулевым сопротивлением.

Первое решение:

Величины сил токов $I_{2а}$ и $I_{2б}$ в случаях ''а'' и ''б'' соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:
$$I_{2а}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_а},\qquad I_{2б}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_б}{.}
$$Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки $AB$ не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами $C$ и $D$. Тогда сопротивления моста $r_а$ и $r_б$ будут одинаковыми и равными сопротивлению эквивалентного источника $r_{0(2)}$, найденному при решении первого пункта, т.е. $I_{2а}=I_{2б}$. Тогда, поскольку $I_2=\mathcal{E}_2/r_{0(2)}$:

Второе решение:

Величины сил токов $I_{2а}$ и $I_{2б}$ в случаях ''а'' и ''б'' соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:
$$I_{2а}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_а},\qquad I_{2б}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_б}{.}
$$Поскольку мост является сбалансированным, удаление перемычки $AB$ не приведёт к изменению сопротивления моста между узлами $C$ и $D$. Тогда сопротивления моста $r_а$ и $r_б$ будут одинаковыми, значит $I_{2а}=I_{2б}$.
Из решения первого пункта следует:
$$I_1=I_{1(1)},\qquad I_2=I_{2(2)}{.}
$$Тогда замена первого источника перемычкой не изменит величину силу тока $I_{2}$, поскольку величина $I_{2(2)}$ найдена для схемы, которую предлагается рассмотреть в случае ''б'' (см. рис. 4). Таким образом:

Третье решение:

Величина силы тока, текущего через источник в исходной схеме, определяется выражением:
$$I_2=\cfrac{\mathcal{E}_2}{\cfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}}{.}
$$Величины сил токов $I_{2а}$ и $I_{2б}$ в случаях ''а'' и ''б'' соответственно будут определяться сопротивлением моста, подключенного к выводам $C$ и $D$ второго источника:
$$I_{2а}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_а},\qquad I_{2б}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{r_б}{.}
$$Сопротивление $r_б$ определяется выражением:
$$r_б=\cfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}{,}
$$откуда следует, что $I_{2б}=I_2$.
Поскольку $R_1R_4=R_2R_3$, при подключении второго источника к узлам $C$ и $D$ мост является сбалансированным при наличии перемычки $AB$. Тогда удаление перемычки $AB$ не изменит сопротивления между узлами $C$ и $D$, т.е $r_а=r_б$. Таким образом:

3  ^?? Чему равны сопротивления резисторов $R_1$, $R_3$ и $R_4$?

Силы токов $I_1$ и $I_2$, текущих через первый и второй источники соответственно, определяются выражениями:
$$\mathcal{E}_1=I_1\left(\cfrac{R_1R_2}{R_1+R_2}+\cfrac{R_3R_4}{R_3+R_4}\right),\qquad \mathcal{E}_2=I_2\left(\cfrac{R_2R_4}{R_2+R_4}+\cfrac{R_1R_3}{R_1+R_3}\right){.}
$$Введём два обозначения:
$$R_1=kR_2,\qquad R_4=\alpha R_2{.}
$$Тогда $R_3=\alpha kR_2$, и для сил токов $I_1$ и $I_2$, текущих через первый и второй источники соответственно, имеем:
$$I_1=\cfrac{\mathcal{E}_1}{R_2}\cdot\cfrac{1+k}{k(1+\alpha)},\qquad I_2=\cfrac{\mathcal{E}_2}{R_2}\cdot\cfrac{1+\alpha}{\alpha(1+k)}{.}
$$Перемножая почленно эти равенства, получим, что
$$I_1I_2=\frac{\mathcal{E}_1\mathcal{E}_2}{R_2^2\alpha k} \quad\Rightarrow\quad \alpha k=\frac{\mathcal{E}_1\mathcal{E}_2}{I_1I_2R_2^2}=4{.}
$$Заметим, что из условия задачи следует:
$$\cfrac{\mathcal{E}_1}{I_1}=\cfrac{\mathcal{E}_2}{I_2}{.}$$
Тогда из этого соотношения и выражений для $I_1$ и $I_2$ получаем
$$\cfrac{\alpha(1+k)}{1+\alpha}=\cfrac{k(1+\alpha)}{1+k}\quad\Rightarrow\quad\alpha(1+k)^2=k(1+\alpha)^2{.}
$$Раскроем скобки:
$$\alpha+2\alpha k+k^2\alpha=k+2\alpha k+\alpha^2k\quad\Rightarrow \quad \alpha+4k=k+4\alpha \quad\Rightarrow \quad \alpha=k{.}
$$Учитывая, что $\alpha k=4$, имеем $k=\alpha=2$. Тогда находим: