| 1 Указано, что сумма сил, действующих на цилиндры, должна быть равна нулю в любой момент до столкновения цилиндров. | 0.30 |
|
| 2 Указано, что силы, действующие на цилиндры со стороны спицы, направлены вертикально. | 0.20 |
|
| 3 Сделан вывод, что в любой момент участок нити $1$, соединяющий цилиндр с бусинкой, а также нить $2$ ориентированы вертикально. Данный пункт оценивается только в том случае, если оценены пункты $\mathrm{A1{.}1}$ и $\mathrm{A1{.}2}$. | 0.50 |
|
| 4 Указано, что в момент столкновения цилиндров они расположены практически на одной вертикали с бусинкой и грузом. | 0.30 |
|
| 5 Указано, что к рассматриваемому моменту вертикальное перемещение бусинки направлено вниз и равно $L/2$. | 0.30 |
|
| 6 Указано или используется, что скорость груза в любой момент направлена горизонтально. | 0.20 |
|
| 7 Указано или используется, что скорость бусинки в рассматриваемый момент направлена горизонтально. | 0.20 |
|
|
8
Записан закон сохранения импульса в проекции на ось, направленную вдоль спицы: $$m_1v_1=m_2v_2{.} $$ |
1.00 |
|
|
9
Записан закон сохранения механической энергии: $$\cfrac{m_1v^2_1}{2}+\cfrac{m_2v^2_2}{2}=\cfrac{m_1gL}{2}{.} $$ |
1.00 |
|
|
10
Получены ответы для $v_1$ и $v_2$ (по $0{.}5$ балла за каждый): $$v_1=\sqrt{\cfrac{gL}{1+m_1/m_2}}\qquad v_2=\cfrac{m_1}{m_2}\sqrt{\cfrac{gL}{1+m_1/m_2}}{.} $$ |
2 × 0.50 |
|
| 1 Указано или используется, что в рассматриваемый момент вертикальная компонента ускорения груза равна нулю ($0{.}25$ балла), а вертикальная компонента ускорения бусинки отлична от нуля и направлена вверх ($0{.}25$ балла). | 2 × 0.25 |
|
|
2
Из второго закона Ньютона для бусинки в рассматриваемый момент получено: $$T_1=\cfrac{m_1(g+a_1)}{2}{.} $$Данный пункт не оценивается при $a_1=0$. |
0.50 |
|
|
3
Записан второй закон Ньютона для груза в рассматриваемый момент: $$T_2-T_1-m_2g=0{.} $$Балл ставится только за правильное уравнение. |
0.50 |
|
|
4
Сила натяжения $T_2$ нити $2$ правильно выражена через $a_1$ в рассматриваемый момент: $$T_2=m_2g+\cfrac{m_1(g+a_1)}{2}{.} $$Пункт оценивается, если $\mathrm{A2.2}$ и $\mathrm{A2.3}$ оценены в полный балл. |
0.25 |
|
| 5 M1 Указано или используется, что система отсчёта груза в рассматриваемый момент является инерциальной и предложено провести поиск ускорения $a_1$ бусинки в ней. | 0.50 |
|
|
6
M1
Определена величина относительной скорости $v_{отн}$ бусинки и груза в рассматриваемый момент: $$v_{отн}=v_1+v_2=\sqrt{gL\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right)}{.} $$Пункт оценивается даже при неверно найденных $v_1$ и $v_2$. |
0.25 |
|
|
7
M1
Указано, что ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент определяется выражением: $$a_1=\cfrac{v^2_{отн}}{\rho}{,} $$где $v_{отн}$ – относительная скорость бусинки и груза, а $\rho$ – радиус кривизны траектории относительного движения бусинки и груза. |
0.50 |
|
| 8 M1 Правильно записано условие сохранения длины нити $1$. | 0.50 |
|
| 9 M1 Получена траектория бусинки в системе отсчёта груза в виде явно выраженной зависимости $y(x)$, где ось $y$ направлена вертикально, а ось $x$ – горизонтально. | 1.00 |
|
| 11 M1 Предложен способ, позволяющий определить радиус кривизны $\rho$ траектории бусинки в системе отсчёта груза в рассматриваемый момент. | 1.00 |
|
|
12
M1
Определён радиус кривизны $\rho$ траектории бусинки в системе отсчёта груза в рассматриваемый момент: $$\rho=L{.} $$ |
0.50 |
|
|
13
M1
Определено ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент: $$a_1=g\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right){.} $$ |
0.50 |
|
|
14
M2
Указано, что ускорение бусинки $a_1$ в лабораторной системе отсчёта в рассматриваемый момент определяется выражением: $$a_1=\cfrac{v^2_1}{\rho_1}{,} $$где $v_1$ – скорость бусинки, а $\rho_1$ – радиус кривизны траектории бусинки в рассматриваемый момент в лабораторной системе отсчёта. |
0.50 |
|
|
15
M2
Из условия отсутствия перемещения центра масс по горизонтали записано: $$m_1x_1+m_2x_2=0{.} $$ |
0.50 |
|
| 16 M2 Правильно записано условие сохранения длины нити $1$. | 0.50 |
|
| 18 M2 Получена траектория бусинки в лабораторной системе отсчёта в виде явно выраженной зависимости $y(x)$, где ось $y$ направлена вертикально, а ось $x$ – горизонтально. | 1.25 |
|
| 19 M2 Предложен способ, позволяющий определить радиус кривизны $\rho_1$ траектории бусинки в рассматриваемый момент в лабораторной системе отсчёта. | 1.00 |
|
|
20
M2
Определён радиус кривизны $\rho_1$ траектории бусинки в рассматриваемый момент в лабораторной системе отсчёта: $$\rho_1=\cfrac{L}{(1+m_1/m_2)^2}{.} $$ |
0.50 |
|
|
21
M2
Определено ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент: $$a_1=g\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right){.} $$ |
0.50 |
|
| 22 M3 Указано или используется, что система отсчёта груза в рассматриваемый момент является инерциальной и предложено провести поиск ускорения $a_1$ бусинки в ней. | 0.50 |
|
|
23
M3
Определена величина относительной скорости $v_{отн}$ бусинки и груза в рассматриваемый момент: $$v_{отн}=\sqrt{gL\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right)}{.} $$ |
0.25 |
|
|
24
M3
Указано, что ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент определяется выражением: $$a_1=\omega v_{отн}{,} $$где $\omega$ – угловая скорость вращения вектора относительной скорости бусинки и груза. |
0.50 |
|
|
25
M3
Указано, что длина нити $1$ должна оставаться постоянной и записаны скорости удлинения участков нити, соединяющих бусинку с цилиндром и грузом (по $0{.}5$ балла за каждое выражение): $$u_{бц}=v_{отн}\sin\theta\qquad u_{бг}=v_{отн}\sin(\theta-\varphi){,} $$ где $\varphi$ – угол между вертикалью и участком нити $1$, соединяющим бусинку с грузом, а $\theta$ – угол между горизонтом и относительной скорости бусинки и груза. Альтернативно: Указано, что скорость цилиндра направлена горизонтально ($0{.}5$ балла), и поэтому для сохранения длины нити относительная скорость бусинки и груза должна быть направлена по биссектрисе внешнего угла между участками нити $1$ ($0{.}5$ балла). |
2 × 0.50 |
|
| 26 M3 Получено, что направление относительной скорости бусинки и груза образует с горизонтом угол $\varphi/2$. | 0.50 |
|
|
27
M3
Выражение для ускорения $a_1$ представлено в виде, эквивалентном следующему: $$a_1=-\cfrac{v_{отн}\dot\varphi}{2}{.} $$ |
0.75 |
|
| 28 M3 Выражение для $a_1$ получено с неверным знаком. | 0.50 |
|
|
29
M3
Получено выражение для $\dot{\varphi}$: $$\dot\varphi=-\cfrac{2v_{отн}}{L}{.} $$ |
0.75 |
|
| 30 M3 Выражение для $\dot{\varphi}$ получено с неверным знаком. | 0.50 |
|
|
31
M3
Определено ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент: $$a_1=g\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right){.} $$ |
0.50 |
|
|
32
M4
Записано условие постоянства длины нити $1$: $$L=y+r $$ |
0.50 |
|
|
33
M4
Величины $x$ и $y$ правильно выражены через угол $\varphi$ (по $0{.}25$ балла за каждое правильное выражение): $$x=\cfrac{L\sin\varphi}{1+\cos\varphi}\qquad y=\cfrac{L\cos\varphi}{1+\cos\varphi}{.} $$ |
2 × 0.25 |
|
|
34
M4
Для проекции $a_1$ ускорения бусинки на ось, направленную вертикально вверх, записано: $$a_1=-d^2{y}_0/dt^2{.} $$ |
0.25 |
|
|
35
M4
Верно найдена первая производная $y$ по времени: $$\cfrac{dy}{dt}=-\cfrac{L\sin\varphi~\dot{\varphi}}{(1+\cos\varphi)^2}{.} $$ |
0.50 |
|
|
36
M4
Верно найдена вторая производная $y$ по времени: $$\cfrac{d^2y}{dt^2}=-\cfrac{L\ddot{\varphi}\sin\varphi}{(1+\cos\varphi)^2}-\cfrac{L\dot{\varphi}^2\cos\varphi}{(1+\cos\varphi)^2}-\cfrac{2L\dot{\varphi}^2\sin^2\varphi}{(1+\cos\varphi)^3}{.} $$ |
0.50 |
|
|
37
M4
Для проекции $a_1$ ускорения бусинки на ось, направленную вертикально вверх, получено: $$a_1=\cfrac{L\dot{\varphi}^2_0}{4}{.} $$ |
0.50 |
|
|
38
M4
Верно найдено выражение для $dx/dt$: $$\cfrac{dx}{dt}=\cfrac{L\dot{\varphi}}{1+\cos\varphi}{.} $$ |
0.50 |
|
|
39
M4
Записано выражение: $$\cfrac{dx_0}{dt}=-v_{отн}{.} $$ |
0.25 |
|
|
40
M4
Получено выражение для $\dot{\varphi}_0$: $$\dot{\varphi}_0=-\cfrac{2v_{отн}}{L}{.} $$ |
0.75 |
|
|
41
M4
Определено ускорение бусинки $a_1$ в рассматриваемый момент: $$a_1=g\left(1+\cfrac{m_1}{m_2}\right){.} $$ |
0.50 |
|
|
42
Получены ответы для $T_1$ и $T_2$ (по $0{.}25$ балла за каждый): $$T_1=m_1g\left(1+\cfrac{m_1}{2m_2}\right)\qquad T_2=\left(m_1+m_2+\cfrac{m^2_1}{2m_2}\right)g{.} $$ |
2 × 0.25 |
|