Pho.rs: Усечённый конус

Условие

Edu

Прямой сплошной непроводящий усечённый конус заряжен по боковой поверхности так, что его поверхностная плотность заряда зависит от расстояния до вершины $\mathrm{O}$ целого конуса как $\sigma \left(x\right) = A/x$, где $A$ — известная положительная константа. Основания усечённого конуса заряжены однородно с поверхностными плотностями $\sigma_1$ и $\sigma_2$ (см. рис.). Длина образующей и половинный угол раствора конуса, дополняющего усечённый конус до целого, равны $l$ и $\alpha = 30^\circ$ соответственно, длина образующей усечённого конуса равна $l$.

1 Пусть $\sigma_1 = -\sigma_2 = \sigma_0$, где $\sigma_0$ – известная величина. Найдите вектор напряжённости $\vec{E}_{\mathrm{O}}$ в точке $\mathrm{O}$.

В конусе просверлили тонкий канал, так что пробный отрицательный заряд $-q$ ($q > 0$) массы $m$ может без трения перемещаться вдоль оси симметрии конуса. Далее справедливо $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma_0$.

2 Докажите, что существует положение равновесия пробного заряда, не зависящее от значениия $\sigma_0$. Найдите это положение равновесия. В качестве ответа приведите расстояние от него до точки $\mathrm{O}$.

3 При каких значениях $\sigma_0$ найденное положение равновесия будет устойчивым? Для значений, соответствующих устойчивому равновесию, найдите период малых колебаний пробного заряда в окрестности положения равновесия.

Примечание: конус закреплён, диэлектрическая проницаемость усечённого конуса $\varepsilon = 1$, влиянием силы тяжести и явлениями магнетизма пренебречь.