Pho.rs: "Взвешивание" коэффициента

Условие

Edu

Как известно, площадь $S$ квадрата со стороной $a$ определяется выражением $S= a^2$, площадь прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ определяется $S=ab$.

Эллипс — это замкнутая плоская кривая, сумма расстояний от каждой точки которой до двух точек $F_1$ и $F_2$ равна постоянной величине. $$M F_1 +M F_2 = \text{const.}$$ Точки $F_1$ и $F_2$ называются фокусами эллипса (см. рис. 1). Отрезок $A_1A_2$ называют большой осью эллипса, отрезок $B_1B_2$ называют малой осью эллипса. Обозначим $A_1 A_2 =A$, $B_1 B_2 =B$.

Рис. 1

Эллипс легко нарисовать, используя данное определение. Расположите лист картона на столе на мягкой опоре. Отметьте на нём фокусы будущего эллипса. В эти точки вертикально воткните две кнопки (булавки). На них накиньте петлю из нити, длина которой немного больше удвоенного расстояния между этими точками. Натяните нить карандашом (ручкой) и, сохраняя нить натянутой, рисуйте линию (см. рис. 2). Потренируйтесь рисовать эллипсы разных размеров на одной из сторон выданного вам картона.

Рис. 2

Массы плоских геометрических фигур пропорциональны их площадям. Площадь эллипса можно рассчитать по формуле $$S = \frac{1}{4} k AB.$$ Здесь $k$ — коэффициент, значение которого Вам предстоит определить.

Для вырезания фигур используйте ножницы. Будьте аккуратны при работе с ножницами и кнопками (булавками). Проведённые измерения представьте в виде таблиц.

1 Определите поверхностную плотность (массу единицы площади) $\rho_{S}$ картона.

Проведите несколько (не менее 5) измерений с прямоугольниками (квадратами) разных размеров. Постройте график зависимости массы прямоугольного (квадратного) листа картона от его площади. Используя график, определите поверхностную плотность картона $\rho_{S}$.

2 Определите толщину $h$ картонного листа. Получите формулу связи поверхностной и объёмной плотностей и рассчитайте объёмную плотность. Определите объёмную плотность (массу единицы объема) картона $\rho_{V}$. В задании 2 не требуется построение графиков.

3 Определите коэффициент $k$ из формулы площади эллипса.

Для этого на втором листе картона нарисуйте несколько (не менее 5) эллипсов разных размеров, вложенных друг в друга (см. рис. 3). Вам придётся изменять длину нити и расстояние между фокусами. Линии эллипсов не должны пересекаться. Вырезая поочерёдно эллипсы (первым вырезайте самый большой), исследуйте зависимость массы эллипса от произведения длин его осей и определите величину $k$, используя график исследуемой зависимости и результаты из пункта 1.

Рис. 3

Оборудование: два листа одного и того же картона формата А5, мягкая основа с двумя канцелярскими силовыми кнопками (или булавками), нить, весы, линейка длиной не менее 20 см, ножницы, два листа миллиметровой бумаги А4 для построения графиков.