Взаимодействие электромагнитного поля с немагнитными жидкостями в случае высокой проводимости жидкости хорошо изучено в рамках магнитной гидродинамики (МГД). В данном случае можно пренебречь электрическими эффектами по сравнению с магнитными. Изученные в рамках МГД эффекты давно нашли широкое техническое применение и используются по сей день. Например, МГД устройства применяются в водных судах или для конструкций металлургического перемешивания. Менее изученным является противоположный случай взаимодействия электромагнитного поля с немагнитными жидкостями в случае низкой проводимости жидкости. В этом случае можно пренебречь магнитными эффектами по сравнению с электрическими. Данная область науки получила название электрогидродинамики (ЭГД) и активно развивается около 70 последних лет. Она нашла широкое техническое применение в современном мире. На её основе построены струйный принтеры, а также они используются в ионизаторах, для изготовления тонких полимерных нитей и капилляров. Наиболее интересным для исследований с научной точки зрения является случай промежуточных значений удельной проводимости, когда необходимо учитывать как электрические, так и магнитные эффекты, возникающие при движении жидкости в электромагнитном поле. Данное направление науки называется электромагнитной гидродинамикой (ЭМГД). В рамках данной задачи вам предлагается изучить динамику движения жидкости внутри плоского и цилиндрического конденсаторов, помещённых в однородное магнитное поле.
Точное решение задач ЭМГД является очень сложным. В рамках данной задачи примем следующую модель:
Считайте известными и постоянными все следующие величины:
Для решения задачи вам понадобится корректная формулировка закона вязкости Ньютона. Рассмотрим грань $AB$ бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда жидкости, лежащую в плоскости $yz$ прямоугольной системы координат $xyz$. Касательным напряжением $\tau_{xy}$, действующим на рассматриваемую грань параллелепипеда, называется отношение силы, действующей на данное сечение параллелепипеда в направлении оси $y$, к площади поверхности рассматриваемой грани. Здесь первый индекс обозначает направление нормали к поверхности грани, а второй индекс – направление действия касательного напряжения. Из закона сохранения момента импульса для вещества следует, что касательное напряжение $\tau_{yx}$, действующее на грань $BC$ данного параллелепипеда, лежащую в плоскости $xz$, в направлении оси $x$, равно величине $\tau_{xy}$: $$\tau_{xy}=\tau_{yx}{.} $$ Здесь направления координатных осей $x$ и $y$ определяются направлениями внешних нормалей к граням $AB$ и $BC$ параллелепипеда. При этом соответствующие касательные напряжения, действующие на противоположные грани $CD$ и $AD$ параллелепипеда, должны быть направлены противоположно, поскольку для них направления нормали являются противоположными.
Закон вязкости Ньютона гласит, что касательное напряжение $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ пропорционально скорости деформации сдвига, что выражается следующей формулой: $$\tau_{xy}=\tau_{yx}=\eta\left(\cfrac{\partial v_x}{\partial y}+\cfrac{\partial v_y}{\partial x}\right){.} $$ Здесь частные производные вычисляются в один и тот же момент времени. Данное выражение применимо в любой системе отсчёта при условии, что проекции скорости $v_x$ и $v_y$ и координаты $(x,y)$ вычисляются относительно выбранной системы отсчёта.
Ключевым соотношением в ЭМГД является связь плотности тока $\vec{j}\bigl(\vec{r}\bigr)$ с величинами удельной проводимости $\sigma$, напряжённости электрического поля $\vec{E}\bigl(\vec{r}\bigr)$, индукции магнитного поля $\vec{B}\bigl(\vec{r}\bigr)$, а также скорости движения жидкости $\vec{v}\bigl(\vec{r}\bigr)$. Вам известен закон Ома в дифференциальной форме: $$\vec{j}=\sigma\vec{E}{.} $$ Этот закон применим только для неподвижных проводников. Если же проводник движется в магнитном поле, то данное уравнение становится неприменимым, а уравнение, описывающее распределение токов в проводнике, требует учёта взаимодействия движущихся в проводнике зарядов с магнитным полем. В общем случае величина плотности тока в проводнике определяется выражением: $$\vec{j}=\sigma\Biggl\langle\cfrac{\vec{F}}{q}\Biggr\rangle{,} $$ где $\vec{F}$ – сила, действующая на заряд $q$ со стороны электромагнитного поля. Данная сила должна уравновешиваться силой, действующей на заряд $q$ со стороны вещества проводника. Здесь усреднение проводится по всем зарядам, участвующим в упорядоченном движении. Считайте известным, что скорости зарядов относительно проводников являются крайне малыми.
Рассмотрим плоский конденсатор с расстоянием $d$ между пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения $U$. Ширина пластин конденсатора равна $L\gg d$, а их длина также во много раз больше расстояния $d$ между обкладками. Введём систему координат $xyz$ так, как показано на рисунке. Ось $x$ направлена перпендикулярно обкладкам, а её начало расположено посередине между обкладками. Ось $y$ направлена вдоль стороны $L$ обкладок конденсатора, а ось $z$ дополняет тройку $xyz$ до правой. Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}=B\vec{e}_y$. В пространстве между обкладками стационарно течёт проводящая жидкость плотностью $\rho$ с проводимостью $\sigma$ и коэффициентом динамической вязкости $\eta$.
При решении данной части задачи используйте следующую модель:
B4 0.40 Получите зависимость $v(x)$ для случая слабого магнитного поля ($Bd\ll\sqrt{\sigma/\eta}$). Определите максимальное значение скорости $v_{max}$. Ответы выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $d$ и $x$. Постройте качественный график полученной зависимости $v(x)$. Отметьте на графике все важные точки.
B5 0.30 Определите максимальное значение скорости жидкости $v_{max}$ для случая сильного магнитного поля ($Bd\gg\sqrt{\sigma/\eta}$). Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$ и $d$. Постройте качественный график зависимости $v(x)$ для случая сильного магнитного поля. Отметьте на графике все важные точки.
Во всех остальных частях задачи рассматривается конденсатор, состоящий из двух очень длинных коаксиальных цилиндрических обкладок. Радиус внутренней обкладки равен $R_1$, а радиус внешней – $R_2$. Высота цилиндров одинакова и равна $h\gg R_1{,}R_2$. Основания обкладок совпадают. Пространство между обкладками заполнено проводящей жидкостью плотностью $\rho$ с проводимостью $\sigma$ и коэффициентом динамической вязкости $\eta$. Расстояние от оси цилиндров до произвольной точки в жидкости обозначим за $r$. Также введём ось $z$, направленную вдоль оси цилиндров.
Для начала рассмотрим движение жидкости в отсутствие электромагнитного поля. Пусть внутренняя и внешняя обкладки вращаются с постоянными угловыми скоростями, проекции которых на ось $z$ равны $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно. В установившемся режиме траектории элементов жидкости представляют собой окружности, перпендикулярные оси $z$, центры которых расположены на последней.
Теперь рассмотрим движение жидкости в конденсаторе при наличии электромагнитного поля. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$, причём потенциал внутренней обкладки выше, чем потенциал внешней. Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$, направленной противоположно оси $z$ (т.е. $\vec{B}=-\vec{e}_zB$). Обе обкладки конденсатора закреплены и не могут вращаться. При решении задачи используйте цилиндрическую систему координат с единичными ортами $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\varphi$ и $\vec{e}_z$, образующими правую тройку. В установившемся режиме траектории элементов жидкости представляют собой окружности, перпендикулярные оси $z$, центры которых расположены на последней. Описание данной части задачи также является описанием к частям $\mathrm{E}$ и $\mathrm{F}$.
Для начала рассмотрим случай течения жидкости при малых скоростях $v$, удовлетворяющих сильному неравенству: $$v\ll \cfrac{E}{B}{.} $$ Данный вид движения реализуется в слабых магнитных полях.
E2 0.40 Пусть радиус внутренней обкладки равен $R$, а радиус внешней обкладки в несколько (порядка единицы) раз больше. Оцените максимальную величину индукции магнитного поля $B_{max}$, при которой полученные вами результаты ещё можно считать применимыми. Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$ и $R$.
Пусть радиусы обкладок вновь равны $R_1$ и $R_2$, а соотношение между ними может быть произвольным. Индукция магнитного поля, в которое помещён конденсатор, принимает очень большие значения в данной части задачи.