Взаимодействие электромагнитного поля с немагнитными жидкостями в случае высокой проводимости жидкости хорошо изучено в рамках магнитной гидродинамики (МГД). В данном случае можно пренебречь электрическими эффектами по сравнению с магнитными. Изученные в рамках МГД эффекты давно нашли широкое техническое применение и используются по сей день. Например, МГД устройства применяются в водных судах или для конструкций металлургического перемешивания.

Менее изученным является противоположный случай взаимодействия электромагнитного поля с немагнитными жидкостями в случае низкой проводимости жидкости. В этом случае можно пренебречь магнитными эффектами по сравнению с электрическими.
Данная область науки получила название электрогидродинамики (ЭГД) и активно развивается около 70 последних лет. Она нашла широкое техническое применение в современном мире. На её основе построены струйный принтеры, а также они используются в ионизаторах, для изготовления тонких полимерных нитей и капилляров.

Наиболее интересным для исследований с научной точки зрения является случай промежуточных значений удельной проводимости, когда необходимо учитывать как электрические, так и магнитные эффекты, возникающие при движении жидкости в электромагнитном поле. Данное направление науки называется электромагнитной гидродинамикой (ЭМГД).

В рамках данной задачи вам предлагается изучить динамику движения жидкости внутри плоского и цилиндрического конденсаторов, помещённых в однородное магнитное поле.

Точное решение задач ЭМГД является очень сложным. В рамках данной задачи примем следующую модель:

• Все внешние электромагнитные поля являются стационарными;
• Все рассматриваемые движения являются стационарными;
• Собственным магнитным полем, создаваемым токами, текущими в жидкости, можно пренебречь, т.е магнитное поле во всех точках пространства равно внешнему магнитному полю $\vec{B}\bigl(\vec{r}\bigr)$;
• Внешнее магнитное поле $\vec{B}\bigl(\vec{r}\bigr)$ создано токами, текущими вне жидкости;
• Во всех точках жидкости объёмная плотность свободного заряда равна нулю.

Считайте известными и постоянными все следующие величины:

• Плотность жидкости $\rho$;
• Удельная проводимость жидкости $\sigma$;
• Коэффициент динамической вязкости жидкости $\eta$;
• Магнитная проницаемость жидкости $\mu\approx 1$.

Для решения задачи вам понадобится корректная формулировка закона вязкости Ньютона.
Рассмотрим грань $AB$ бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда жидкости, лежащую в плоскости $yz$ прямоугольной системы координат $xyz$. Касательным напряжением $\tau_{xy}$, действующим на рассматриваемую грань параллелепипеда, называется отношение силы, действующей на данное сечение параллелепипеда в направлении оси $y$, к площади поверхности рассматриваемой грани. Здесь первый индекс обозначает направление нормали к поверхности грани, а второй индекс — направление действия касательного напряжения.
Из закона сохранения момента импульса для вещества следует, что касательное напряжение $\tau_{yx}$, действующее на грань $BC$ данного параллелепипеда, лежащую в плоскости $xz$, в направлении оси $x$, равно величине $\tau_{xy}$:
$$\tau_{xy}=\tau_{yx}{.}
$$
Здесь направления координатных осей $x$ и $y$ определяются направлениями внешних нормалей к граням $AB$ и $BC$ параллелепипеда.

При этом соответствующие касательные напряжения, действующие на противоположные грани $CD$ и $AD$ параллелепипеда, должны быть направлены противоположно, поскольку для них направления нормали являются противоположными.

Закон вязкости Ньютона гласит, что касательное напряжение $\tau_{xy}=\tau_{yx}$ пропорционально скорости деформации сдвига, что выражается следующей формулой:
$$\tau_{xy}=\tau_{yx}=\eta\left(\cfrac{\partial v_x}{\partial y}+\cfrac{\partial v_y}{\partial x}\right){.}
$$
Здесь частные производные вычисляются в один и тот же момент времени.
Данное выражение применимо в любой системе отсчёта при условии, что проекции скорости $v_x$ и $v_y$ и координаты $(x,y)$ вычисляются относительно выбранной системы отсчёта.

Часть A. Уравнения ЭМГД (0.8 балла)

Ключевым соотношением в ЭМГД является связь плотности тока $\vec{j}\bigl(\vec{r}\bigr)$ с величинами удельной проводимости $\sigma$, напряжённости электрического поля $\vec{E}\bigl(\vec{r}\bigr)$, индукции магнитного поля $\vec{B}\bigl(\vec{r}\bigr)$, а также скорости движения жидкости $\vec{v}\bigl(\vec{r}\bigr)$.
Вам известен закон Ома в дифференциальной форме:
$$\vec{j}=\sigma\vec{E}{.}
$$
Этот закон применим только для неподвижных проводников. Если же проводник движется в магнитном поле, то данное уравнение становится неприменимым, а уравнение, описывающее распределение токов в проводнике, требует учёта взаимодействия движущихся в проводнике зарядов с магнитным полем.
В общем случае величина плотности тока в проводнике определяется выражением:
$$\vec{j}=\sigma\Biggl\langle\cfrac{\vec{F}}{q}\Biggr\rangle{,}
$$
где $\vec{F}$ — сила, действующая на заряд $q$ со стороны электромагнитного поля. Данная сила должна уравновешиваться силой, действующей на заряд $q$ со стороны вещества проводника. Здесь усреднение проводится по всем зарядам, участвующим в упорядоченном движении.
Считайте известным, что скорости зарядов относительно проводников являются крайне малыми.

A1  ^0.30 Пусть $\vec{v}$ — скорость жидкости в некоторой точке пространства. Чему равна плотность тока $\vec{j}$ в данной точке пространства? Ответ выразите через $\sigma$, $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$.

A2  ^0.20 Определите силу $\vec{f_B}$, действующих на единицу объёма жидкости со стороны магнитного поля. Ответ выразите через $\sigma$, $\vec{E}$, $\vec{B}$ и $\vec{v}$.

A3  ^0.30 Покажите, что если объёмная плотность свободного заряда в любой точке жидкости равна нулю, то и объёмная плотность полного заряда также равна нулю в любой точке жидкости.

Часть B. Течение жидкости в плоском конденсаторе (3.3 балла)

Рассмотрим плоский конденсатор с расстоянием $d$ между пластинами, подключенный к источнику постоянного напряжения $U$. Ширина пластин конденсатора равна $L\gg d$, а их длина также во много раз больше расстояния $d$ между обкладками.
Введём систему координат $xyz$ так, как показано на рисунке. Ось $x$ направлена перпендикулярно обкладкам, а её начало расположено посередине между обкладками. Ось $y$ направлена вдоль стороны $L$ обкладок конденсатора, а ось $z$ дополняет тройку $xyz$ до правой.
Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}=B\vec{e}_y$.
В пространстве между обкладками стационарно течёт проводящая жидкость плотностью $\rho$ с проводимостью $\sigma$ и коэффициентом динамической вязкости $\eta$.

При решении данной части задачи используйте следующую модель:

• Напряжённость $\vec{E}$ электростатического поля можно считать однородной во всей области между обкладками конденсатора;
• Скорость $v$ жидкости в каждой точке пространства между обкладками направлена вдоль оси $z$;
• В силу соотношения $L\gg d$ конденсатор можно считать бесконечно широким;
• Считайте давление жидкости одинаковым в каждой точке пространства между обкладками и равным давлению на входе и выходе из пространства между обкладками.

B1  ^0.30 Из общефизических соображений найдите, чему равна сила $\vec{f_E}$, действующая на единицу объёма жидкости со стороны электростатического поля? Ответ обоснуйте.

B2  ^1.00 Покажите, что зависимость скорости жидкости от координаты $x$ можно представить в виде:
$$v(x)=A\cosh\omega x+B\sinh\omega x+C{.}
$$
Определите $A$, $B$, $C$ и $\omega$. Ответы выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$ и $d$.

B3  ^0.20 Определите максимальную скорость течения жидкости $v_{max}$. Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$ и $d$.

B4  ^0.40 Получите зависимость $v(x)$ для случая слабого магнитного поля ($Bd\ll\sqrt{\sigma/\eta}$). Определите максимальное значение скорости $v_{max}$. Ответы выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $d$ и $x$.
Постройте качественный график полученной зависимости $v(x)$. Отметьте на графике все важные точки.

B5  ^0.30 Определите максимальное значение скорости жидкости $v_{max}$ для случая сильного магнитного поля ($Bd\gg\sqrt{\sigma/\eta}$). Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$ и $d$.
Постройте качественный график зависимости $v(x)$ для случая сильного магнитного поля. Отметьте на графике все важные точки.

B6  ^0.30 Получите зависимость массового расхода жидкости $Q$ через поперечное сечение $xy$ конденсатора. Ответ выразите через $\rho$, $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $d$ и $L$.

B7  ^0.40 Получите приближения для $Q(B)$ в случаях слабого и сильного магнитного полей ($Bd\ll\sqrt{\sigma/\eta}$ и $Bd\gg\sqrt{\sigma/\eta}$ соответственно). Ответы выразите через $\rho$, $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $d$ и $L$.

B8  ^0.40 Постройте качественный график зависимости массового расхода $Q$ от индукции магнитного поля $B$. Отметьте на графике все важные точки.

Во всех остальных частях задачи рассматривается конденсатор, состоящий из двух очень длинных коаксиальных цилиндрических обкладок. Радиус внутренней обкладки равен $R_1$, а радиус внешней — $R_2$. Высота цилиндров одинакова и равна $h\gg R_1{,}R_2$. Основания обкладок совпадают. Пространство между обкладками заполнено проводящей жидкостью плотностью $\rho$ с проводимостью $\sigma$ и коэффициентом динамической вязкости $\eta$.
Расстояние от оси цилиндров до произвольной точки в жидкости обозначим за $r$. Также введём ось $z$, направленную вдоль оси цилиндров.

Часть C. Жидкость в цилиндрическом конденсаторе в отсутствие электромагнитного поля (1.5 балла)

Для начала рассмотрим движение жидкости в отсутствие электромагнитного поля.
Пусть внутренняя и внешняя обкладки вращаются с постоянными угловыми скоростями, проекции которых на ось $z$ равны $\omega_1$ и $\omega_2$ соответственно.
В установившемся режиме траектории элементов жидкости представляют собой окружности, перпендикулярные оси $z$, центры которых расположены на последней.

C1  ^1.30 Определите проекции на ось $z$ моментов сил $M_1$ и $M_2$, прикладываемых к внутренней и внешней обкладкам соответственно сторонними силами для поддержания их стационарного движения. Ответ выразите через $\eta$, $\omega_1$, $\omega_2$, $R_1$, $R_2$ и $h$.

C2  ^0.20 Получите зависимость скорости движения жидкости $v(r)$ от расстояния $r$ до оси цилиндров. Ответ выразите через $\omega_1$, $\omega_2$, $R_1$, $R_2$ и $r$.

Часть D. Уравнения движения жидкости в цилиндрическом конденсаторе (0.9 балла)

Теперь рассмотрим движение жидкости в конденсаторе при наличии электромагнитного поля. Конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения $U$, причём потенциал внутренней обкладки выше, чем потенциал внешней. Система помещена в однородное магнитное поле с индукцией $\vec{B}$, направленной противоположно оси $z$ (т.е. $\vec{B}=-\vec{e}_zB$). Обе обкладки конденсатора закреплены и не могут вращаться.
При решении задачи используйте цилиндрическую систему координат с единичными ортами $\vec{e}_r$, $\vec{e}_\varphi$ и $\vec{e}_z$, образующими правую тройку.
В установившемся режиме траектории элементов жидкости представляют собой окружности, перпендикулярные оси $z$, центры которых расположены на последней.
Описание данной части задачи также является описанием к частям $\mathrm{E}$ и $\mathrm{F}$.

D1  ^0.30 Определите напряжённость электрического поля $\vec{E}(r)$ в области между цилиндрами на расстоянии $r$ от их оси. Ответ выразите через $U$, $R_1$, $R_2$, $r$ и $\vec{e}_r$.

D2  ^0.20 Определите силу $\vec{f_B}$, действующую на единицу объёма жидкости со стороны магнитного поля. Ответ выразите через $\sigma$, $U$, $r$, $B$, скорость движения жидкости $v(r)$, $\vec{e}_r$ и $\vec{e}_\varphi$.

D3  ^0.40 Из общефизических соображений укажите направление силы $\vec{f_E}$, действующей на единицу объёма жидкости со стороны электростатического поля. В качестве ответа укажите единичный вектор, коллинеарно которому направлена эта сила. Ответ обоснуйте.

Часть E. Течение при малых скоростях (2.0 балла)

Для начала рассмотрим случай течения жидкости при малых скоростях $v$, удовлетворяющих сильному неравенству:
$$v\ll \cfrac{E}{B}{.}
$$
Данный вид движения реализуется в слабых магнитных полях.

E1  ^1.60 Получите зависимость скорости движения жидкости $v(r)$ от расстояния $r$ до оси цилиндров. Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $R_1$, $R_2$ и $r$.

E2  ^0.40 Пусть радиус внутренней обкладки равен $R$, а радиус внешней обкладки в несколько (порядка единицы) раз больше. Оцените максимальную величину индукции магнитного поля $B_{max}$, при которой полученные вами результаты ещё можно считать применимыми. Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$ и $R$.

Часть F. Течение в очень сильном магнитном поле (1.5 балла)

Пусть радиусы обкладок вновь равны $R_1$ и $R_2$, а соотношение между ними может быть произвольным. Индукция магнитного поля, в которое помещён конденсатор, принимает очень большие значения в данной части задачи.

F1  ^0.90 Получите зависимость $v(r)$ в случае сильного магнитного поля вдали от обкладок конденсатора. Ответ выразите через $\sigma$, $\eta$, $U$, $B$, $R_1$, $R_2$ и $r$.

F2  ^0.60 Постройте качественный график зависимости $v(r)$ для всех значений $r$ между обкладками конденсатора в случае сильного магнитного поля. Указывать характерные значения при построении графика не обязательно.