| 1 Записано выражение для силы $\vec{F}_{EM}$, действующей на частицу в электромагнитном поле: $$\vec{F}_{EM}=q\bigl(\vec{E}+\bigl[\vec{u}\times\vec{B}\bigr]\bigr){.} $$ | 0.10 |
|
| 2 В силу малости скорости движения зарядов относительно кристаллической решётки записано: $$\vec{u}\approx\vec{v}{.} $$ | 0.10 |
|
|
3
Получен ответ: $$\vec{j}=\sigma\bigl(\vec{E}+\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]\bigr){.} $$ Примечание: Ответ, полученный без обоснования, не оценивается. |
0.10 |
|
| 1 Записано выражение для силы Ампера $d\vec{F_A}$, действующий на элементарной объём $dV$ с током плотностью $\vec{j}$: $$d\vec{F_A}=\bigl[\vec{j}\times\vec{B}\bigr]dV{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ: $$\vec{f_B}=\sigma\bigl(\bigl[\vec{E}\times\vec{B}\bigr]-\bigl[\vec{B}\times\bigl[\vec{v}\times\vec{B}\bigr]\bigr]\bigr){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Из условия отсутствия свободных зарядов записано равенство: $$\bigl(\nabla{,}\vec{D}\bigr)=0{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано соотношение: $$\vec{D}=\varepsilon_0\varepsilon\vec{E}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Показано требуемое. | 0.10 |
|
| 1 Из равенства нулю объёмной плотности поляризационных зарядов сделан вывод, что взаимодействие жидкости с электростатическим полем обусловлено дипольным взаимодействием с ним поляризованного вещества жидкости. | 0.10 |
|
| 2 Записано выражение для силы, действующей на точечный диполь в неоднородном электрическом поле: $$\vec{F}=\bigl(\vec{p}{,}\nabla\bigr)\vec{E}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Из условия постоянства напряжённости электростатического поля между обкладками конденсатора сделан вывод, что $\vec{f_E}=0$. | 0.10 |
|
| 0 Определена сила $\vec{f}_B$: $$\vec{f}_B=\sigma\left(\cfrac{UB}{d}-vB^2\right)\vec{e}_z{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Из уравнения движения бесконечно малого прямоугольного параллелепипеда получено: $$\eta\cfrac{d^2v}{dx^2}+f_{Bz}=0{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получено дифференциальное уравнение, описывающее распределение скоростей жидкости: $$\cfrac{d^2v}{dx^2}=\cfrac{\sigma B^2v}{\eta}-\cfrac{\sigma UB}{\eta d}{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Показано, что зависимость $v(x)$ удовлетворяет виду, приведённому в условии. | 0.10 |
|
| 5 Определены величины $C$ и $\omega$ (по $0{.}1$ за каждую): $$C=\cfrac{U}{Bd}\qquad \omega=B\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 6 Указано, что должны выполняться следующие граничные условия на скорость жидкости: $$v(\pm d/2)=0{.} $$ | 0.10 |
|
| 7 Определены постоянные $A$ и $B$ (по $0{.}1$ балла за каждую): $$A=-\cfrac{U}{Bd\cosh\left(\cfrac{Bd}{2}\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}\right)}\qquad B=0{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Указано, что максимальное значение скорости $v_{max}$ достигается при $x=0$. | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ: $$v_{max}=\cfrac{U}{Bd}\left(1-\cfrac{1}{\cosh\left(\cfrac{Bd}{2}\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}\right)}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Использовано приближение: $$\cosh x\approx 1+\cfrac{x^2}{2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено приближение для $v(x)$: $$v(x)\approx \cfrac{\sigma UB}{2\eta d}\left(\cfrac{d^2}{4}-x^2\right) $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ для $v_{max}$: $$v_{max}=\cfrac{\sigma UBd}{8\eta}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 График имеет вид параболы. | 0.05 |
|
| 5 На графике отмечены $v_{max}$ при $x=0$ и $v=0$ при $x=\pm d/2$. | 0.05 |
|
| 1 Получено выражение для $v_{max}$: $$v_{max}\approx\cfrac{U}{Bd}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 График имеет симметричный вид. | 0.05 |
|
| 3 На графике отмечено, что $v_{max}$ при $x=0$. | 0.05 |
|
| 4 На графике отображено, что скорость близка к максимальной практически во всей области между обкладками. | 0.10 |
|
| 1 Записано выражение для массового расхода $Q$: $$Q=\rho L\int\limits_{-d/2}^{d/2}v(x)dx{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено выражение для $Q$ в виде определённого интеграла: $$Q=\cfrac{\rho UL}{Bd}\int\limits_{-d/2}^{d/2}\left(1-\cfrac{\cosh\left(B\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}\left(x-\cfrac{d}{2}\right)\right)}{\cosh\left(\cfrac{Bd}{2}\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}\right)}\right)dx $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ: $$Q=\cfrac{\rho UL}{B}\left(1-\cfrac{\tanh\left(\cfrac{Bd}{2}\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}\right)}{\cfrac{Bd}{2}\sqrt{\cfrac{\sigma}{\eta}}}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 При $x\to 0$ записано: $$\tanh x\approx x-\cfrac{x^3}{3}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено приближение для $Q(B)$ в случае слабого магнитного поля: $$Q(B)\approx \cfrac{\rho\sigma UBd^2L}{12\eta} $$ | 0.10 |
|
| 3 Указано, что $\tanh x/x\to 0$ при $x\to\infty$. | 0.10 |
|
| 4 Получено приближение для $Q(B)$ в случае сильного магнитного поля: $$Q(B)\approx\cfrac{\rho UL}{B}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 График имеет вид прямой при малых значениях $B$. | 0.10 |
|
| 2 График имеет вид гиперболы при больших значениях $B$. | 0.10 |
|
| 3 На графике присутствует точка максимума. | 0.10 |
|
| 4 До перехода на гиперболический участок график функции $Q(B)$ выпуклый вверх. | 0.10 |
|
| 0 Указано или следует из решения, что относительно оси $z$ момент сил вязкого трения, действующих со стороны внешнего слоя жидкости, должен быть одинаков для любого цилиндра жидкости с внешним радиусом $r$. | 0.10 |
|
| 2 Записаны выражения для проекций скоростей (по $0{.}1$ балла за каждое): $$v_x=-\omega(r)y\qquad v_y=\omega(r)x{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 3 Найдены производные $\partial v_x/\partial y$ и $\partial v_y/\partial x$ для точки $A$, лежащей на оси $x$ (по $0{.}1$ балла за каждое): $$\cfrac{\partial v_x}{\partial y}=-\omega(r)\qquad \cfrac{\partial v_y}{\partial x}=\omega(r)+r\cfrac{d\omega(r)}{dr}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 4 Получено или следует из решения выражение для касательного напряжения $\tau_{\varphi r}$: $$\tau_{\varphi r}=\eta r\cfrac{d\omega}{dr}{.} $$ | 0.20 |
|
| 5 Записано выражение для момента сил вязкого трения: $$M=2\pi hr^2\tau{.} $$ | 0.10 |
|
| 6 Получено выражение для момента сил вязкого трения: $$M=2\pi\eta hr^3\cfrac{d\omega}{dr}=const{.} $$ | 0.10 |
|
| 7 Полученное выражение проинтегрировано от внутреннего цилиндра до внешнего: $$\omega_2-\omega_1=\cfrac{M}{4\pi\eta h}\left(\cfrac{1}{R^2_1}-\cfrac{1}{R^2_2}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 8 Получены ответы (по $0{.}1$ балла за каждый): $$M_1=-\cfrac{4\pi\eta h(\omega_2-\omega_1)R^2_1R^2_2}{R^2_2-R^2_1}{,}\qquad M_2=\cfrac{4\pi\eta h(\omega_2-\omega_1)R^2_1R^2_2}{R^2_2-R^2_1}{.} $$ | 2 × 0.10 |
|
| 1 Получена зависимость $\omega(r)$: $$\omega(r)=\cfrac{\omega_2R^2_2-\omega_1R^2_1}{R^2_2-R^2_1}-\cfrac{(\omega_2-\omega_1)R^2_1R^2_2}{(R^2_2-R^2_1)r^2}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получен ответ: $$v(r)=\cfrac{(\omega_2R^2_2-\omega_1R^2_1)r}{R^2_2-R^2_1}-\cfrac{(\omega_2-\omega_1)R^2_1R^2_2}{(R^2_2-R^2_1)r}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Выражение для $\vec{E}\bigl(\vec{r}\bigr)$ ищется в виде: $$\vec{E}=\cfrac{A\vec{e}_r}{r}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получена связь коэффициента $A$ с напряжением $U$: $$U=A\ln\cfrac{R_2}{R_1}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получен ответ: $$\vec{E}=\cfrac{U\vec{e}_r}{r\ln\cfrac{R_2}{R_1}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Получен ответ: $$\vec{f_B}=\sigma\left(\cfrac{UB}{r\ln\cfrac{R_2}{R_1}}-vB^2\right)\vec{e}_\varphi $$ | 0.20 |
|
| 1 Записано соотношение: $$\vec{f_E}\sim\bigl(\vec{P}{,}\nabla\bigr)\vec{E}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Получено соотношение: $$\vec{f_E}\sim\bigl(\vec{E}{,}\nabla\bigr)\vec{E}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Получено соотношение: $$\vec{f_E}\sim E_r\cfrac{d\vec{E}}{dr}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получен ответ: $$\vec{e_r}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Выражение для $\vec{f_B}$ приведено к виду: $$\vec{f_B}\approx \cfrac{\sigma UB\vec{e_\varphi}}{r\ln\cfrac{R_2}{R_1}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записан закона сохранения момента импульса относительно оси $z$ для жидкости между внутренней обкладкой конденсатора и цилиндром радиусом $r$: $$M(r)-M_0+M_{EM}(r)=0{.} $$ | 0.40 |
|
| 3 Найдена величина $M_{EM}(r)$: $$M_{EM}(r)=\cfrac{\pi h\sigma UB(r^2-R^2_1)}{\ln\cfrac{R_2}{R_1}}{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Получено дифференциальное уравнение относительно $\omega$: $$2\pi\eta hr^3\cfrac{d\omega}{dr}=M_1-\cfrac{\pi\sigma UBh(r^2-R^2_1)}{\ln\cfrac{R_2}{R_1}}{.} $$ | 0.20 |
|
| 5 Величина $\omega_1$ правильно выражена через $M_1$: $$\omega(r)=\cfrac{M_1}{4\pi\eta h}\left(\cfrac{1}{R^2_1}-\cfrac{1}{r^2}\right)-\cfrac{\sigma UB}{2\eta\ln\cfrac{R_2}{R_1}}\left(\ln\cfrac{r}{R_1}-\cfrac{R^2_1}{2}\left(\cfrac{1}{R^2_1}-\cfrac{1}{r^2}\right)\right){.} $$ | 0.30 |
|
| 6 Из условия $\omega(R_2)=0$ получено выражение, позволяющее определить $M_1$: $$\cfrac{M_1}{4\pi\eta h}=\cfrac{R^2_1R^2_2}{R^2_2-R^2_1}\cfrac{\sigma UB}{2\eta\ln\cfrac{R_2}{R_1}}\left(\ln\cfrac{R_2}{R_1}-\cfrac{1}{2}\left(1-\cfrac{R^2_1}{R^2_2}\right)\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 7 После подстановки $M_1$ получено правильное выражение для $\omega(r)$: $$\omega(r)=\cfrac{\sigma UB}{2\eta\ln\cfrac{R_2}{R_1}}\left(\cfrac{R^2_1R^2_2}{R^2_2-R^2_1}\ln\cfrac{R_2}{R_1}\left(\cfrac{1}{R^2_1}-\cfrac{1}{r^2}\right)-\ln\cfrac{r}{R_1}\right){.} $$ | 0.20 |
|
| 8 Получен ответ: $$v(r)=\cfrac{\sigma UB}{2\eta\ln\cfrac{R_2}{R_1}}\left(\cfrac{R^2_1R^2_2}{R^2_2-R^2_1}\ln\cfrac{R_2}{R_1}\left(\cfrac{r}{R^2_1}-\cfrac{1}{r}\right)-r\ln\cfrac{r}{R_1}\right){.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Записано условие искажения полученных результатов: $$vB\approx E{.} $$ | 0.10 |
|
| 2 Записано соотношение: $$v\sim\cfrac{\sigma UBR}{\eta}{.} $$ | 0.10 |
|
| 3 Записано соотношение: $$E\sim\cfrac{U}{R}{.} $$ | 0.10 |
|
| 4 Получена оценка для $B_{max}$: $$B_{max}\approx \sqrt{\cfrac{\eta }{\sigma R^2}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Проявлено понимание физики и указано, что величина силы $\vec{f}_B$ должна быть конечна. | 0.30 |
|
| 2 Сделан вывод, что величина силы $\vec{f_B}$ конечна при условии малости плотности тока $\vec{j}$ вдали от обкладок конденсатора. | 0.30 |
|
| 3 Записано условие равенства нулю плотности тока вдали от обкладок конденсатора: $$E(r)=v(r)B{.} $$ | 0.20 |
|
| 4 Получен ответ для $v(r)$: $$v(r)\approx \cfrac{U}{Br\ln\cfrac{R_2}{R_1}}{.} $$ | 0.10 |
|
| 1 Функция $v(r)$ равна нулю при $r=R_1$ и $r=R_2$. | 0.10 |
|
| 2 Функция $v(r)$ имеет ровно один максимум. | 0.10 |
|
| 3 Производная $dv/dr$ при $r=R_1$ не обращаются в ноль или в бесконечность. | 0.05 |
|
| 4 Производная $dv/dr$ при $r=R_2$ не обращаются в ноль или в бесконечность. | 0.05 |
|
| 5 Функция $v(r)$ имеет вид гипербол вдали от обкладок конденсатора. | 0.10 |
|
| 6 Функция $v(x)$ выпукла вверх вблизи $r=R_1$ и $r=R_2$ (по $0{.}05$ балла за каждое правильное направление выпуклости). | 2 × 0.05 |
|
| 7 Области, на которых функция имеет вид, отличный от гиперболы, занимают малую область графика (по $0{.}05$ балла за выполнение данного условия вблизи $r=R_1$ и $r=R_2$). | 2 × 0.05 |
|