Logo
Logo

Плотность изоленты

1  ?? толщину $h$ изоленты;

Отрежем от листа бумаги белые края, оставив только миллиметровую сетку. Размеры получившегося листа бумаги $a=(20,0\pm0,1){ }см,{ }b=(28,0\pm0,1){ }см$. Скрутим миллиметровку в максимально плотную трубочку (разлиновкой наружу) вдоль длинной стороны $b$. Закрепим края очень узкими полосками изоленты, отрезанными от основного рулона. Эту трубочку будем использовать как линейку и как рычаг. Масса трубочки
$$M=ab\sigma=4,48\pm0,04{ }г.$$
Измерим трубочкой ширину изоленты $l=(19\pm1){ }мм$, внешний диаметр рулона
$D=(72\pm1){ }мм$, внутренний диаметр рулона (без учета картонной втулки) $d=(44\pm1){ }мм$.
Объем рулона изоленты можно выразить через его длину $L$, толщину $h$, ширину $l$:
\[V=Lhl,\tag{1}\]
а также через внешний $D$ и внутренний $d$ диаметры и толщину $l$ рулона:
\[V=\frac{\pi(D^2-d^2)}{4}\cdot l.\tag{2}\]
Из $(1)$ и $(2)$
$$h=\frac{\pi(D^2-d^2)}{4L}=(127\pm9){ }мкм.$$

Ответ: $h=(127\pm9){ }мкм.$

Заводское значение толщины изоленты 0,13 мм.

2  ?? линейную плотность изоленты $\lambda$ (массу единицы длины);

Для выполнения второго и третьего пунктов задания необходимо измерить массу изоленты. В данной задаче это может быть осуществлено только с помощью известной массы листа миллиметровой бумаги. Используем изготовленную ранее бумажную трубочку в качестве рычага. Подвесим ее на нитке и определим положение центра масс, уравновесив трубочку в горизонтальном положении. Далее будем отрезать от изоленты отрезки длиной $b = 28{ }см$ (равные длине бумажного рычага) и последовательно наматывать их заподлицо на край бумажной трубочки (см. рисунок). Обозначим массу одного отрезка $m_0$. Снимем зависимость смещения $x$ центра масс системы «рычаг + лента» от количества $n$ отрезков изоленты длиной $28{ }см$, намотанных на рычаг. Ниже приведена таблица измерений.

$n$$x,{~}мм$$\frac{1}{n}$$\frac{1}{x},{~}\frac{1}{м}$
$1$$20\pm1$$1,00$$50,0\pm2,5$
$2$$36\pm1$$0,50$$27,8\pm0,8$
$3$$47\pm1$$0,33$$21,3\pm0,5$
$4$$56\pm1$$0,25$$17,9\pm0,3$
$5$$63\pm1$$0,20$$15,9\pm0,3$

Запишем правило моментов относительно точки подвеса для системы в горизонтальном положении рычага
\[Mgx=nm_0g\left(\frac{b}{2}-\frac{l}{2}-x\right).\tag{3}\]
После преобразований
\[\frac{1}{n}=\frac{1}{x}\cdot \frac{m_0}{M}\left(\frac{b-l}{2}\right)-\frac{m_0}{M}.\tag{4}\]
Видно, что зависимость $\frac{1}{n}$ от $\frac{1}{x}$ является линейной. Угловой коэффициент $k$ этой зависимости дает возможность определить $m_0$ – массу отрезка изоленты длиной $28{ }\text{см}$. Построим график $\frac{1}{n}$ от $\frac{1}{x}$.

С помощью графика находим $$k=\frac{m_0}{M}\left(\frac{b-l}{2}\right)=\left(24,4\pm1,2\right){ }мм$$
или $m_0=(0,84\pm0,06){ }г$.
Линейная плотность изоленты $$\lambda=\frac{m_0}{b}=(3,0\pm0,2){ }\frac{г}{м}.$$

Ответ: $\lambda=(3,0\pm0,2){ }\frac{г}{м}.$

3  ?? объемную плотность изоленты $\rho$ (массу единицы объема).

Объемная плотность изоленты $$\rho=\frac{\lambda}{hl}=(1,24\pm0,24){ }\frac{г}{{см}^3}.$$

Ответ: $\rho=(1,24\pm0,24){ }\frac{г}{{см}^3}$.

Примечание: если в решении участников олимпиады из правила моментов (3) получена зависимость $\frac{1}{n}$ от $\frac{1}{x}$ (выражение (4)), то удобнее и вполне допустимо построение графика именно этой зависимости, т.епо горизонтали откладывается обратная величина измеряемой величины, а по вертикали – изменяемой.   Если же учащийся после преобразований из (3) получил зависимость $\frac{1}{x}$ от $\frac{1}{n}$, то при построении графика удобнее по горизонтали откладывать обратную величину изменяемой величины, т.е. $\frac{1}{n}$. Очевидно, что на результат такая смена осей не влияет.