Logo
Logo

Сферический сегмент

1  ?? Определите радиус шарика для пинг-понга $R$. Укажите в работе действия, которые Вы предпринимали для повышения точности результата.

После Олимпийских игр в австралийском Сиднее, прошедших в 2000 году, вес мячика увеличили до $2,7{ }г$, а диаметр – до $40{ }мм$. Изменение характеристик было продиктовано необходимостью увеличить устойчивость шара в полете и снизить темп игры для большей зрелищности. Но в характеристики шариков, продающихся в магазинах, могут отличаться от международных стандартов.

Метод № 1

Для определения радиуса шарика используем два бруска и миллиметровую бумагу. Зажимаем шарик между брусками в разных местах, где можно измерить его диаметр. За параллельностью брусков следим по миллиметровой бумаге. Проводим измерение несколько раз и находим среднее значение диаметра, а затем определяем радиус по формуле: $R = 0,5D_{ср}$.

№ п/п$D,{~}мм$$D_{ср}{~}мм$$R,{~}мм$
139

 

39

 

19,5

239
339

Метод № 2

Делаем на шарике отметку карандашом и с помощью линейки прокатываем его, считая обороты. Измеряем путь шарика по поверхности стола и определяем радиус по формуле:
$$R = \frac{L_{ср}}{2\pi n}.$$

№ п/п$n$$L,{~}мм$$L_{ср},{~}мм$$R,{~}мм$
13368

 

368

 

19,5

23370
33366

Ответ: $R=19,5{ }мм$.

2  ?? Исследуйте зависимость массы сферического сегмента от его высоты и определите степень $n$ и коэффициент $k$ для выданного Вам сегмента.

Измеряем массу сегмента на весах.
Для определения высоты сегмента опять используем два бруска и миллиметровую бумагу. Зажимаем сегмент между брусками. За параллельностью брусков следим по миллиметровой бумаге.
Аккуратно срезаем полоску с сегмента ножницами, уменьшая его высоту. Следим за аккуратностью среза на плоскости стола.

№ п/п123456789
$m,{~}г$1,501,411,231,100,960,760,600,480,35
$h,{~}мм$35332926221814118

Строим график зависимости массы сегмента от его высоты.

Т.к. точки хорошо ложатся на прямую, проходящую через начало координат, делается вывод о прямой пропорциональности и равенстве $n$ единице.
Проводим среднюю прямую через начало координат и определяем угловой коэффициент:
$$k = \frac{1,2}{28} = 0,043{ }\frac{г}{мм}$$.

Ответ: $n=1;{ }k =0,043{ }\frac{г}{мм}$.

3  ?? С помощью полученной зависимости определите массу целого шарика для пинг-понга.

Метод № 1

Массу целого шарика можно найти на графике, используя экстраполяцию до диаметра.

Метод № 2

Массу целого шарика можно найти по формуле:
$$m_0 = kD = 0,043\cdot 39 = 1,68{ }г.$$

Ответ: $m_0 =1,68{ }г.$

4  ?? В этой части задания не требуется построения графиков для каких-либо зависимостей. Определите поверхностную и объёмную плотности материала шарика для пинг-понга. Укажите в работе действия, которые Вы предпринимали для повышения точности результатов плотностей.

Поверхностную плотность легко найти по формуле:
$$\rho_S=\frac{m_0}{4\pi R^2}=\frac{1,68\cdot 10^{-3} { }кг}{4\cdot 3,14\cdot \left(19,5\cdot 10^{-3}{ }м \right)^2}\approx 0,35{ }\frac{кг}{м^2}$$ .
Для определения объёмной плотности необходимо измерить толщину стенки шарика. Для этого используются обрезки шарика. Они выкладываются в ряд и зажимаются брусками. Толщину стенки определяем методом рядов:
$$l_1=\frac{l}{N}$$.
Тогда объёмная плотность:
$$\rho_V=\frac{m_0}{4\pi R^2l_1}=\frac{m_0N}{4\pi R^2l}=\frac{1,68\cdot 10^{-3} { }кг\cdot 13}{4\cdot 3,14\cdot \left(19,5\cdot 10^{-3}{ }м \right)^2\cdot5\cdot10^{-3}м }\approx 920{ }\frac{кг}{м^3}.$$

Ответ: $\rho_S=0,35{ }\frac{кг}{м^2};{ }\rho_V=920{ }\frac{кг}{м^3}$.