Logo
Logo

Эффект Холла

1  ?? Определите модуль и направление вектора напряженности электрического поля в бруске.

Под действием силы Лоренца происходит перераспределение электронов по поверхности бруска. Электроны движутся до тех пор, пока сила $\vec{F^{\prime}}$, действующая на них со стороны электрического поля с напряженностью $\vec{E}^{\prime}$, которое создается возникшими поверхностными зарядами, не уравновесит силу Лоренца $\vec{F}_{l}$ (рис. 3):

$$
\begin{gathered}
F_{l}=F^{\prime}, e v B=e E^{\prime}, \\
E^{\prime}=v B.
\end{gathered}
$$

Полная напряженность $\vec{E}_{п}$ электрического поля в бруске (рис. 4) равна

$$
\vec{E}_{п}=\vec{E}+\vec{E}^{\prime}
$$

Так как сила тока $I$ в бруске равна $I= nevcb$, то

$$
v=\frac{I}{n e c b}, E^{\prime}=v B=\frac{I B}{n e c b}, \quad E=\frac{v}{u}=\frac{I}{n e c b u}.
$$
Тогда
$$
\begin{gathered}
E_{п}=\sqrt{E^{2}+E^{\prime 2}}=\frac{I}{ necb } \sqrt{\frac{1}{u^{2}}+B^{2}} \approx 4.1 В/м, \\
\alpha=\operatorname{arctg}\left(E^{\prime} / E\right)=\operatorname{arctg}(B u) \approx 38^{\circ} .
\end{gathered}
$$

Ответ: $$
E_{п}=\frac{I}{ necb } \sqrt{\frac{1}{u^{2}}+B^{2}} \approx 4.1 В/м
$$
$$
\alpha=\operatorname{arctg}(B u) \approx 38^{\circ}
$$

2  ?? Вычислите разность потенциалов между противоположными точками на поверхности бруска в направлении ребра $b$.

В направлении ребра $b$ возникнет напряжение
$$
U=E^{\prime} b=\frac{I B}{n e c}=2.5 \cdot 10^{-2} В
$$

Ответ: $$
U=\frac{I B}{n e c}=2.5 \cdot 10^{-2} В
$$

3  ?? Получите аналитическое выражение для постоянной компоненты разности потенциалов, найденной в п. 3, если сила тока и индукция магнитного поля меняются по законам: $I=I_{0} \sin \omega t$, $B=B_{0} \sin (\omega t+\varphi)$.

Напряжение $U$ будет изменяться по закону
$$
\begin{aligned}
U=& \frac{I B}{n e c}=\frac{1}{n e c} I_{0} \sin \omega t \cdot B_{0} \sin (\omega t+\varphi)=\\
&=\frac{I_{0} B_{0}}{2 n e c} \cos \varphi-\frac{I_{0} B_{0}}{2 n e c} \cos (2 \omega t+\varphi) .
\end{aligned}
$$
Таким образом, напряжение имеет постоянную составляющую
$$
U_{0}=\frac{I_{0} B_{0}}{2 n e c} \cos \varphi.
$$

Ответ: $$
U_{0}=\frac{I_{0} B_{0}}{2 n e c} \cos \varphi
$$

4  ?? Спроектируйте (и объясните) электрическую цепь, в которой возможно использование результата 3 для измерения мощности, потребляемой электрическим аппаратом, включенным в сеть переменного тока.

Мощность, потребляемая аппаратом, равна $P=I U \cos \varphi_{1}$, где $I$ и $U$ — действующие значения силы тока и напряжения, $\varphi_{1}$ — разность фаз колебаний силы тока и напряжения. Постоянная составляющая напряжения вдоль ребра $b$ бруска $U_{0} \sim I_{0} B_{0} \cos \varphi_{2}$, где $\varphi_{2}$ — разность фаз колебаний тока и индукции магнитного поля. Если аппарат включить так, как показано на рис. 5, то при выполнении условия $R \gg \omega L$ сила тока в катушке, а значит, и индукция магнитного поля будут пропорциональны напряжению на аппарате, сила тока в бруске будет пропорциональна силе тока в аппарате и $\varphi_{1}=\varphi_{2}=\varphi . \mathrm{B}$ этом случае постоянная составляюшая напряжения вдоль ребра $b$ бруска будет пропорциональна мощности, потребляемой аппаратом:

$$
U_{0} \sim I_{0} B_{0} \cos \varphi \sim I U \cos \varphi=P
$$

Ответ: