Pho.rs: Вращение гантели в электростатическом поле

Условие

Edu

Y24

Данная задача посвящена исследованию динамики системы проводящих тел, помещённой в однородное электростатическое поле напряжённостью $\vec{E}_0$.
Рассматриваемая система является электрически нейтральной гантелью, состоящей из двух металлических шаров радиусом $r$ с расстоянием $l\gg r$ между их центрами. Шары соединены очень тонким цилиндрическим стержнем. Масса каждого из шаров равна $m$, а массой стержня можно пренебречь.
Введём вектор $\vec{l}$, обозначающий радиус-вектор второго шара относительно первого (см. рис).

Часть A. Металлический стержень (2.0 балла)

В данной части задачи шары соединены металлическим стержнем.
Будем называть наведёнными дипольными моментами шаров и стержня дипольные моменты электрически нейтральных шара и стержня соответственно, приобретаемые ими при помещении в электростатическое поле вдали от других тел.
Во всех пунктах данной задачи пренебрегайте наведёнными дипольными моментами шаров и стержня, а также считайте распределения зарядов по поверхностям шаров равномерными.

А1 ^0.50 Определите дипольный момент гантели $\vec{p}$. Ответ выразите через $\vec{E}_0$, $r$, $\varepsilon_0$ и $\vec{l}$.

А2 ^0.20 Определите момент сил $\vec{M}$, действующих на гантель. Ответ выразите через $\vec{E_0}$, $r$, $\varepsilon_0$, $\vec{l}$.

А3 ^0.20 Найдите положения равновесия системы. В качестве ответа укажите значения углов $\alpha_0$ между стержнем и направлением напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$.

A4 ^0.50 Какие из найденных вами в пункте $\mathrm{A3}$ положения равновесия являются устойчивыми, а какие — неустойчивыми? Ответ обоснуйте.
Найдите также периоды малых колебаний вблизи положений устойчивого равновесия. Ответы выразите через $l$, $R$, $m$, $E_0$ и $\varepsilon_0$.

А5 ^0.60 В устойчивом положении равновесия стержню мгновенно придали угловую скорость $\vec{\omega}_0$ перпендикулярную электрическому полю. При какой минимальной начальной угловой скорости $\omega_{min}$ гантель сможет совершить полный оборот? Ответ выразите через $l$, $r$, $m$, $E_0$ и $\varepsilon_0$.

Часть B. Вращение с постоянной угловой скоростью (2.6 балла)

Пусть система вращается вокруг оси, перпендикулярной стержню, с постоянной угловой скоростью $\vec{\omega}$. Направление напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$ образует угол $\theta$ с плоскостью, в которой движется стержень (см. рис).
На рисунке показано положение гантели в момент, когда стержень лежит в плоскости, содержащей ось вращения и направление напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$. Примите за момент времени $t=0$ положение, соответствующее рисунку.
В данной части задачи стержень не является металлическим, а имеет сопротивление $R$ между его концами.

B1 ^0.90 Запишите уравнение, определяющее силу тока $I$ в стержне. Покажите, что сила тока в нашей системе равна силе тока в некотором $RLC$ контуре, подключенном к генератору переменного гармонического напряжения $\mathcal{E}(t)$.
Используя полученное уравнение, определите параметры эквивалентной схемы: зависимость от времени ЭДС эквивалентного генератора $\mathcal{E}_{eff}(t)$, индуктивность $L_{eff}$, ёмкость $C_{eff}$ и сопротивление $R_{eff}$. Ответы выразите через $E_0$, $l$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$, $\omega$, $\theta$ и $t$.

Далее во всех пунктах задачи считайте, что в системе происходят только вынужденные колебания.

B2 ^0.50 Получите зависимость от времени $t$ проекции $p_l(t)$ дипольного момента гантели на ось, направленную вдоль вектора $\vec{l}$. Ответ выразите через $E_0$, $l$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$, $\omega$, $\theta$ и $t$.

Во всех последующих пунктах задачи, если стержень имеет сопротивление $R$, оно является настолько малым, что напряжение на резисторе много меньше эффективной амплитуды $\mathcal{E}_0$ напряжения из пункта B1.

B3 ^0.20 Упростите ваш ответ для $p_l(t)$, полученный в пункте B2, с учётом малости сопротивления $R$. Упрощённый ответ должен содержать только величины, порядок малости по $R$ которых не превышает первый. Ответ выразите через $E_0$, $l$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$, $\omega$, $\theta$ и $t$.

Введём прямоугольную декартову систему координат $xyz$ так, как показано на рисунке. Здесь ось $z$ направлена вдоль направления напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$, а ось $x$ лежит в плоскости рисунка.

B4 ^1.00 Определите средние за большое время компоненты дипольного момент $\langle p_x\rangle$, $\langle p_y\rangle$ и $\langle p_z\rangle$ гантели. Ответы выразите через $E_0$, $l$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$, $\omega$ и $\theta$.

Часть C. Плоское движение гантели (0.8 балла)

В данной части задачи сопротивление стержня равно $R$. В положении устойчивого равновесия стержню придают большую угловую скорость $\vec{\omega}_0$, перпендикулярную направлению напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$. Считайте, что $\omega_0\gg\omega_{min}$, где $\omega_{min}$ была определена вами в пункте A5.

C1 ^0.50 Найдите зависимость от времени $t$ угловой скорости стержня $\omega(t)$, считая, что $\omega(t)\gg\omega_{min}$ в любой момент времени, а $t\gg 2\pi/\omega_0$. Ответ выразите через $\omega_0$, $E_0$, $l$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$ и $t$.

C2 ^0.30 Оцените время $\tau$, через которое стержень перестанет делать полные обороты. Ответ выразите через $\omega_0$, $E_0$, $l$, $r$, $R$ и $\varepsilon_0$.

Часть D. Прецессия стержня (4.6 балла)

Данная часть задачи посвящена изучению динамики пространственного движения гантели в электростатическом поле.
Оказывается, что для очень быстро вращающейся гантели существует режим движения, при котором она в среднем испытывает регулярную прецессию вокруг оси $z$.
Под регулярной прецессией подразумевается такой режим движения гантели, при котором плоскость вращения стержня вращается вокруг оси $z$ с постоянной средней угловой скоростью $\Omega_z$, а угол $\theta$ между плоскостью движения стержня и направлением напряжённости электростатического поля $\vec{E}_0$ остаётся постоянным.
В режиме, соответствующей регулярно прецессии, вектор угловой скорости гантели $\vec{\omega}$ представляется в следующем виде:
$$\vec{\omega}=\vec{\omega}'+\vec{\Omega}{.}
$$
Здесь $\vec{\Omega}=\Omega_z\vec{e_z}$ — вектор средней угловой скорости прецессии плоскости движения стержня, а $\vec{\omega}'$ — вектор угловой скорости гантели в системе отсчёта, вращающейся со средней угловой скоростью прецессии плоскости движения стержня.

В данной части задачи:

Cчитайте, что в любой момент гантель вращается с угловой скоростью $\omega'$, во много раз превышающей $\omega_{min}$;
Если не указано обратное, считайте, что угловая скорость $\omega'$ во много раз превышает среднюю угловую скорость прецессии $\Omega_z$.
Все компоненты вектора угловой скорости стержня (в том числе $d\theta/dt=\dot\theta$) могут считаться постоянным в течение времени, за которое стержень совершает один оборот в своей плоскости вращения;
Все уравнения движения стержня записывайте в виде усреднённых за время одного оборота стержня в своей плоскости вращения.

Пусть в пунктах D1 и D2 стержень является металлическим.

D1 ^0.50 Получите точное выражение для момента импульса $\vec{L}$ гантели в режиме регулярно прецессии. Ответ выразите через $m$, $l$, $\vec{\omega}'$ и $\vec{\Omega}$. Упростите ваш ответ с учётом $\Omega_z\ll\omega'$.

D2 ^1.50 Покажите, что возможен такой режим движения гантели, при котором она в среднем испытывает регулярную прецессию вокруг оси $z$. Приведите все соответствующие уравнения движения, на основании которых вы производите доказательство.
Определите для данного режима движения среднюю угловую скорость прецессии плоскости движения стержня $\Omega_z$. Ответ выразите через $E_0$, $\varepsilon_0$, $m$, $l$, $r$, $R$, $\omega'$ и $\theta$. Также выразите ответ через $\omega_{min}$, $\omega'$ и $\theta$ и убедитесь, что $\Omega_z\ll\omega'$.

Пусть в начальный момент времени напряжённость электростатического поля $\vec{E}_0$ составляет угол $\theta_0$ со стержнем (cм. рисунок).
Гантели мгновенно придают угловую скорость $\vec{\omega}_0$, модуль который много больше $\omega_{min}$, направленную перпендикулярно стержню так, как показано на рисунке.
Учтем сопротивление стержня $R$. В силу малости $R$ по-прежнему можно считать, что напряжение на резисторе много меньше эффективной амплитуды $\mathcal{E}$ напряжения из пункта $\mathrm{B1}$.
За время порядка $1/\omega_0$ гантель переходит в режим движения, соответствующий медленно изменяющейся прецессии. За время перехода потерями кинетической энергии гантели можно пренебречь.
При медленно изменяющейся прецессии величины $\Omega_z$ и $\theta$ изменяются со временем очень медленно в силу малости сопротивления $R$.
Поскольку угол $\theta$ начинает изменяться, то для данного режима движения гантели вектор угловой скорости записывается в следующей форме:
$$\vec{\omega}=\vec{\omega}'+\Omega_z\vec{e}_z+\dot{\theta}\vec{e}_y{.}
$$
Здесь $\vec{\omega}'$ всё также направлен перпендикулярно плоскости движения стержня. Во всех последующих пунктах считайте, что $\omega'\gg\dot\theta{,}\Omega$.

D3 ^0.50 Чему равна установившаяся угловая скорость вращения стержня $\omega_\infty$ спустя большой промежуток времени? Ответ выразите через $\omega_0$ и $\theta_0$.

D4 ^0.50 Получите зависимость средней угловой прецессии $\Omega_z$ от угла $\theta$. Ответ выразите через $\omega_{min}$, $\omega_0$, $\theta_0$ и $\theta$.

D5 ^1.00 Получите зависимость от времени $t$ величины $\theta$ при $t\gg 2\pi/\omega_0$. Ответ выразите через $\theta_0$, $E_0$, $m$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$ и $t$.

D6 ^0.40 Определите максимальное значение величины $\dot\theta$. Ответ выразите через $\theta_0$, $E_0$, $m$, $r$, $R$ и $\varepsilon_0$. Убедитесь, что $\dot\theta_{max}\ll\omega_0$.

D7 ^0.20 Найдите зависимость скорости прецессии от времени $\Omega(t)$. Ответ выразите через $E_0$, $\omega_0$, $m$, $r$, $R$, $\varepsilon_0$, $\theta_0$ и $t$.