В этой задаче вам предстоит изучить изгибную деформацию. Под изгибной деформацией понимают искривление осей различных стержней. Изгибная деформация в точке характеризуется радиусом кривизны оси стержня. Для произвольной кривой изогнутой в одной плоскости (см. рисунок 1) радиус кривизны рассчитывается как отношение малой длины дуги кривой $\mathrm dl$ к величине изменения угла направления касательной к ней $\mathrm d\alpha$:\begin{equation}
R=\frac{\mathrm dl}{\mathrm d\alpha}.
\end{equation}Величину $R^{-1}$ обратную радиусу кривизны называют кривизной.
Если рассмотреть небольшой кусочек стержня (рисунок 2), то под действием изгибного момента $M$ он искривляется так, что часть его слоев растягивается, а часть сжимается. Некоторая линия внутри стержня остается недеформируемой. За счет изгиба в сечении стержня возникают силы упругости, создающие момент сил относительно недеформируемой линии. Этот момент сил уравновешивает момент внешних сил, из за которого возникает изгиб.
Закон Гука для упругих изгибных деформаций стержня состоит в том, что кривизна малого кусочка стержня пропорциональна изгибному моменту сил:
\begin{equation}
M=\frac{B}{R}.
\end{equation}Будем называть коэффициент пропорциональности изгибной жесткостью стержня.
Типичным примером изгибной деформации является изгиб балки с одним жестко закрепленным горизонтальным концом под действием силы, приложенной к ее второму концу (рис. 3).
В этом случае балка деформируется неоднородно, то есть ее кривизна в каждой точке неодинакова. Изгибный момент внешних сил, действующих на сечение балки, на расстоянии $x$ от линии действия силы $F$, может быть вычислен как:
\begin{equation}
M=Fx.
\end{equation}То есть в этом случае, если балка деформируется упруго, кривизна балки будет прямо пропорционально зависеть от $x$.
Если положить длинную балку на цилиндрическую поверхность, так чтобы центр балки касался поверхности, и вывести из состояния равновесия, то балка начнет колебаться, качаясь на цилиндрической поверхности.
Период таких колебаний может быть рассчитан как:
\begin{equation}
T=2\pi\sqrt{\frac{l^2}{12gR}},
\end{equation}где $R$ – радиус кривизны поверхности, $l$ – длина балки.
A1 2.70 Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча $h$.
A3 2.60 Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки $F$ и расстояние $H$ между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот $H$ от $0$ до $H_{\max}$.
