A1  ^2.70 Стяните скотчем два конца пластиковой линейки (рисунок 4). Проделайте это так, чтобы к скотчу была обращена сторона линейки с делениями. Расстояние между наиболее удаленной от скотча точки линейки и полоской скотча должно составить в этом упражнении $H_{\max}=9.5~см$. Линейка будет деформирована неоднородно. Измерьте зависимость кривизны $r^{-1}$ поверхности линейки в зависимости от расстояния $h$ между поверхностью и полоской скотча $h$.

Для измерения кривизны поверхности закрепим изогнутую линейку в лапке штатива так, чтобы исследуемая точка поверхности линейки была наивысшей (см. рис. 7). Положим на эту точку изогнутой линейки деревянную линейку. Запустим колебания деревянной линейки. Измерим время $t$ нескольких $N$ колебаний линейки.

Рассчитаем период колебаний линейки как отношение измеренного времени и количества колебаний, совершенных за это время \begin{equation} T=\frac{t}{N}. \end{equation} Определим по полученным данным кривизну поверхности линейки \begin{equation} r^{-1}=\frac{3gT^2}{l^2\pi^2}, \end{equation} где $l=(51.0\pm0.1) \ см$ -- длина деревянной линейки. Оценим погрешность измерения как: \begin{equation} \sigma_{r^{-1}}=r^{-1}\cdot\frac{2\sigma_t}{t}, \end{equation} где погрешность измерения времени оценим как $\sigma_t=0.3 \ с$.

Измерим также расстояние $h$ до точки поверхности изогнутой линейки, около которой происходили колебания. Погрешность этого расстояния оценим в $\sigma_h = 5~ мм$, складывая приборную погрешность линейки и неточность определения точки, до которой проводится измерение расстояния.

A2  ^2.30 Постройте график исследованной зависимости. Как должен вести себя график данной функции теоретически? Можно ли сказать, что полученные экспериментальные данные соответствуют теоретическим предположениям?

Видно, что данные могут быть описаны прямой пропорциональностью. Последнее несложно объяснить с теоретической точки зрения. Если сила, стягивающая линейку, равна $F$, то ее момент относительно сечения, находящегося на удалении $h$ от скотча, равен:\begin{equation}
M=F\cdot h.
\end{equation}В соответствии с законом Гука для изгибной деформации, кривизна поверхности прямо пропорциональна моменту изгибных сил. То есть, как и получено в эксперименте, кривизна линейки прямо пропорциональна расстоянию $h$.

A3  ^2.60 Для разных степеней стягивания линейки (рисунок 5) измерьте кривизну $R^{-1}$ поверхности линейки в максимально удаленной от скотча точке, измерьте силу стягивания концов линейки $F$ и расстояние $H$ между максимальной удаленной от скотча точки поверхности линейки и скотчем. Проведите измерения для нескольких точек из диапазона высот $H$ от $0$ до $H_{\max}$.

Измерим таким же образом кривизну поверхности линейки в наиболее удаленной от скотча точке при разных степенях изгиба. Будем измерять время $N_0=10$ колебаний линейки. Для каждой степени изгиба измерим размер $H$. Измерим также силу стягивания концов линейки с помощью весов (рисунок 8). Для этого сначала обнулим показания весов, предварительно положив на них пластиковую линейку.

Снимем линейку с весов. Стянем ее концы скотчем и поставим обратно на весы так, чтобы полоска скотча приняла вертикальное положение. Надавим на верхний конец линейки так, чтобы скотч начал провисать, то есть его сила натяжения обратилась в 0. Запишем показания весов $m^*$. Cила, действующая на платформу весов, будет равна силе, стягивающей концы линейки. Для ее вычисления умножим показания весов на ускорение свободного падения $g$: \begin{equation} F=m^*g. \end{equation} Занесем измерения в таблицу в п. A4. Рассчитаем кривизну линейки в наиболее удаленной от скотча точке.

A4  ^0.70 Рассчитайте для каждой исследованной степени изгиба линейки величину изгибного момента $M$, действующего на максимально удаленную от скотча точку линейки.

Рассчитаем момент силы стягивания относительно этой точки как: \begin{equation} M=F\cdot H=m^*g\cdot H. \end{equation} Для оценки погрешности момента стягивающих сил сложим относительные погрешности показаний весов и плеча силы $H$: \begin{equation} \sigma_M=M\Big(\frac{\sigma_{m^*}}{m}+\frac{\sigma_{H}}{H}\Big), \end{equation} где погрешность показаний весов оценим в $\sigma_{m*}=10~г$, так как сила меняется в небольших пределах по мере провисания скотча.

A5  ^1.70 Постройте график зависимости $R^{-1}$ от $M$. Определите изгибную жесткость линейки $B$.

Построим график зависимости кривизны точки линейки от момента изгибных сил, действующих в этом сечении.

Видно, что точки на графике могут быть описаны прямой пропорциональностью, обратный угловой коэффициент которой равен коэффициенту изгибной жесткости линейки:

Заметим, что прямая, аппроксимирующая точки графика, может и не проходить через начало координат. Такой эффект при корректных измерениях связан с наличием у линейки начальной изгибной деформации.