| A1. 1 Потенциал, создаваемый маленьким элементом кольца | 0.10 |
|
| A1. 2 Верный ответ $\Phi(z)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{1}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}$ | 0.20 |
|
| A2. 1 Запись выражения в виде, где содержится малый параметр $z/R$ | 0.20 |
|
| A2. 2 Верный ответ $\Phi(z) \approx \frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}\left(1-\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\right)$ | 0.20 |
|
| A3. 1 Выражение для силы $F(z)=-\frac{q e}{4 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} z$ | 0.10 |
|
| A3. 2 Верный знак $q>0$ | 0.10 |
|
| A4. 1 Верный ответ $\omega=\sqrt{\frac{q e}{4 \pi m \varepsilon_{0} R^{3}}}$ | 0.10 |
|
|
B1. 1
M1
Потенциал, создаваемый малым элементом
$$\mathrm{d} \Phi=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\lambda R \mathrm{~d} \phi}{\sqrt{R^{2}+r^{2}-2 R r \cos \phi}}=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\lambda \mathrm{d} \phi}{\sqrt{1+\frac{r^{2}}{R^{2}}-2 \frac{r}{R} \cos \phi}}$$ |
0.30 |
|
|
B1. 2
M1
Верное разложение по $r/R$
$$\mathrm{d} \Phi \approx \frac{\lambda \mathrm{d} \phi}{4 \pi \varepsilon_{0}}\left[1+\frac{r}{R} \cos \phi+\frac{r^{2}}{R^{2}}\left(\frac{3}{2} \cos ^{2} \phi-\frac{1}{2}\right)\right]$$ |
0.30 |
|
| B1. 3 M1 Правильное интегрирование | 0.60 |
|
| B1. 4 M1 Верный ответ $\beta=\frac{1}{16 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}$ | 0.30 |
|
| Через теорему Гаусса | ||
|
B1. 6
M2
Выражение для потенциала
$$\Phi(z, r)=\frac{q}{4 \pi \varepsilon_{0} R}\left(1-\frac{z^{2}}{2 R^{2}}\right)+q \beta r^{2}$$ |
0.20 |
|
| B1. 7 M2 Применение теоремы Гаусса к цилиндру | 0.40 |
|
| B1. 8 M2 Интегрирование через боковую поверхность | 0.30 |
|
| B1. 9 M2 Интегрирование через основания | 0.30 |
|
| B1. 10 M2 Верный ответ $\beta=\frac{1}{16 \pi \varepsilon_{0} R^{3}}$ | 0.30 |
|
| B2. 1 Выражение для силы $F(r)=+\frac{q e}{8 \pi \varepsilon_{0} R^{3}} r$ | 0.10 |
|
| B2. 2 Верный знак $q<0$ | 0.10 |
|
| C1. 1 Уравнение движения $m \ddot{r}=2 e q \beta r$ | 0.20 |
|
| C1. 2 Время нахождения электрона в активной области $t=\frac{d}{v}$ | 0.10 |
|
| C1. 3 Радиальная компонента скорости $v_{r}=\frac{2 e q \beta r}{m} \frac{d}{v}<0$ | 0.30 |
|
| C1. 4 Время, необходимое для достижения оптической оси $t^{\prime}=\frac{r}{\left|v_{r}\right|}=-\frac{m v}{2 e q \beta d}$ | 0.20 |
|
| C1. 5 Фокусное расстояние $f=-\frac{E}{e q d \beta}$ | 0.50 |
|
| C2. 1 Начальная скорость $v_{r ; 0}=v \sin \gamma \approx v \gamma \approx v \frac{r}{b}$ | 0.10 |
|
| C2. 2 Начальная скорость $v_{z}=v \cos \gamma \approx v$ | 0.10 |
|
| C2. 3 Радиальная компонента после прохождения активной области $v_{r}=v \frac{r}{b}+\frac{2 e q \beta r}{m} \frac{d}{v}$ | 0.20 |
|
|
C2. 4
Время, необходимое для достижения оптической оси
$$t^{\prime}=-\frac{1}{\frac{2 e q \beta}{m} \frac{d}{v}+\frac{v}{b}}$$ |
0.20 |
|
| C2. 5 Выражение $$c=-\frac{1}{\frac{e q \beta d}{E}+\frac{1}{b}}$$ | 0.20 |
|
| C3. 1 Формула тонкой линзы выполняется. | 0.20 |
|
| D1. 1 Идея разбиения кольца на две части | 0.40 |
|
| D1. 2 Выражение для потенциала, создаваемое малым участком $\Phi_{1}=2 \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q}{2 \pi R} \int_{0}^{\alpha R} \frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}$ | 0.20 |
|
| D1. 3 Верное значение $\Phi_{1} \approx \frac{q}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} R} \ln \left(\frac{2 \alpha R}{a}\right)$ | 0.30 |
|
| D1. 4 Выражение для потенциала, создаваемое кольцом $\Phi_{2}=2 \frac{q}{2 \pi} \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \int_{\alpha}^{\pi} \frac{\mathrm{d} \phi}{2 R \sin \frac{\phi}{2}}$ | 0.20 |
|
| D1. 5 Верное значение $\Phi_{2} \approx \frac{q}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} R} \ln \left(\frac{4}{\alpha}\right)$ | 0.30 |
|
| D1. 6 Верное значение полного потенциала $\Phi=\frac{q}{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} R} \ln \left(\frac{8 R}{a}\right)$ | 0.40 |
|
| D1. 7 Верное значение $C=\frac{4 \pi^{2} \varepsilon_{0} R}{\ln \left(\frac{8 R}{a}\right)}$ | 0.20 |
|
|
D2. 1
Дифференциальное уравнение для $-d / 2 v < t < d / 2 v$ $$\frac{q(t)}{C}+R_{0} \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}=V_{0}{.}$$ |
0.10 |
|
|
D2. 2
Верный ответ для $-d / 2 v < t < d / 2 v$
$$q(t)=C V_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{d}{2 v R_{0} C}} \mathrm{e}^{-\frac{t}{R_{0} C}}\right)$$ |
0.20 |
|
| D2. 3 Верное выражение $$q_{0}=C V_{0}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{d}{v R_{0} C}}\right)$$ | 0.20 |
|
|
D2. 4
Дифференциальное уравнение для $t>d/2v$
$$\frac{q(t)}{C}+R_{0} \frac{\mathrm{d} q}{\mathrm{~d} t}=0$$ |
0.10 |
|
|
D2. 5
Верный ответ для $t>d/2v$
$$q(t)=C V_{0}\left(\mathrm{e}^{\frac{d}{2 v R_{0} C}}-\mathrm{e}^{-\frac{d}{2 v R_{0} C}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{t}{R C}}$$ |
0.20 |
|
|
D2. 6
График:
- заряд отрицательный - верная зависимость для $t< d/2v$ - верная зависимость для $t> d/2v$ - дополнительные отметки на графике $\left(q_{0}, \pm d /(2 v)\right)$ 
|
4 × 0.05 |
|
| E1. 1 Уравнение движения $m \ddot{r}=2 e q(t) \beta r$ | 0.20 |
|
|
E1. 2
Запись $v_r$ в виде интеграла
$$v_{r}=\eta r \int_{-d /(2 v)}^{\infty} q(t) \mathrm{d} t$$ |
0.40 |
|
|
E1. 3
Верное интегрирование от $-d/2v$ до $d/2v$
$$=Q_{0}\left(t_{0}-\tau\left[1-\mathrm{e}^{-t_{0} / \tau}\right]\right)$$ |
0.20 |
|
|
E1. 4
Верное интегрирование от $d/2v$ до $\infty$
$$=Q_{0} \tau\left[1-\mathrm{e}^{-t_{0} / \tau}\right]$$ |
0.20 |
|
| E1. 5 Верное выражение $v_{r}=\frac{2 e \beta C V_{0} d r}{m v}$ | 0.20 |
|
| E1. 6 Верное фокусное расстояние $f=-\frac{E}{e C V_{0} d \beta}$ | 0.50 |
|
| E2. 1 $q_{\mathrm{eff}}=C V_{0}$ | 0.30 |
|