Обозначим удлинение пружины при приложении к системе силы $F$ — $\Delta l$, а силу упругости, возникающую в пружине — $F_{упр} = k\Delta l$. Запишем уравнение моментов относительно точки крепления шарнира к рычагу:
\begin{equation*}
k\Delta l \cdot x_1 = F \cdot x_2.
\end{equation*}Сдвиг правого конца рычага $y$ свяжем с удлинением пружины $\Delta l$, используя подобие треугольников:
\begin{equation*}
\frac{\Delta l}{x_1}=\frac{y}{x_2}
\end{equation*}Тогда получаем:
Видно, что эффективный коэффициент жесткости такой системы меньше коэффициента жесткости пружины в квадрат раз отношения плеч рычага. Это обусловлено двумя факторами. Первый фактор — большее перемещение конца рычага по сравнению с удлинением пружины, второй — меньшая по сравнению с силой упругости сила $F$, прикладываемая к концу рычага.
Разделим веревку на две части по переплетенным волокнам, как требуется в условии. Половину веревки, используемую для дальнейших измерений, будем называть «нитью».
Соберем из линейки, штатива и канцелярского зажима усилитель показаний весов (рис. 5), описанный в условии задачи.
Первый способ определения массы и сечения нити
Обнулим показания весов и положим на дальний конец линейки нить. Тогда показания весов $m^*=(0.74\pm0.02)~ г$ будут связаны с массой нити $m$ через отношение плеч усилителя $z_2-z_1=(10.1\pm0.2)~ см$ и $z_3-z_1=(49.5\pm0.2)~см$:
Погрешность массы нити рассчитаем, складывая относительные погрешности входящих в формулу величин:
Второй способ определения массы и сечения нити
Заметим, что коэффициент усиления $n = {M^*}/{M}$ системы рычагов не зависит от измеряемой массы груза $m$. Для того, чтобы определить коэффициент усиления воспользуемся гайкой, массу $M = (10.4 \pm 0.1)~ г$ которой найдем заранее, взвесив ее на весах. Если положить гайку на конец рычага, то их показания составят $M^* = (52.0 \pm 0.5)~ г$. Тогда можно рассчитать коэффициент усиления в этой системе как:\begin{equation}
n =\frac{M^*}{M}= (5.0 \pm 0.1).
\tag{8}
\end{equation}Погрешность в этом случае можно вычислить как сумму относительных погрешностей, входящих в выражение величин:\begin{equation}
\sigma_n=n\left(\frac{\sigma_{M^*}}{M^*}+\frac{\sigma_{M}}{M}\right).
\tag{9}
\end{equation}Относительная погрешность коэффициента усиления равна сумме относительных погрешностей двух измерений масс.
Теперь взвесим на усилителе одну из получившихся нитей, с которой будем проводить дальнейшие измерения: $m^* = (0.74\pm0.02) \ г$. Тогда:
Погрешность массы нити рассчитаем, складывая относительные погрешности входящих в формулу величин:
Измерим длину взвешиваемой нити: $l = (72.5 \pm 0.1)~ см$.
Первый способ определения
Тогда площадь поперечного сечения нити составит:
Относительная погрешность площади приблизительно совпадает с относительной погрешностью массы нити:
Второй способ определения
Тогда площадь поперечного сечения нити составит:
Погрешность площади рассчитаем как сумму относительных погрешностей определения массы и длины нити:
Измерьте длину нити $l$, испытывающую деформацию в вашей установке.
Далее соберем конструкцию (рис. 6), эффективный коэффициент жесткости которой будет в несколько раз меньше коэффициента жесткости используемой в ней части веревки. Для этого наденем на линейку канцелярский зажим, дужки которого привяжем к нити. Второй конец нити привяжем ко второму канцелярскому зажиму, который закрепим в лапке штатива. Подвесим линейку так, чтобы она с одной стороны висела на нити, а с другой ближайшим к нити концом упиралась во вторую лапку штатива. На противоположную от лапки сторону линейки прикрепим последний канцелярский зажим. Плоскость линейки должна быть вертикальна, чтобы линейка не испытывала прогиба при дальнейших измерениях.
При установке на третий канцелярский зажим гайки нить будет растягиваться дополнительной силой $F$ в отношение плеч раз большей, чем сила тяжести гайки: \begin{equation}
F=Mg\frac{x_3-x_1}{x_2-x_1},
\tag{13}
\end{equation}где $x_1$ — координата опорной лапки штатива на линейке, $x_2$ — координата подвеса нити, $x_3$ — координата установки гайки.
Отношение перемещения конца линейки к растяжению нити будет равно отношению плеч рычага:\begin{equation}
\Delta l=\Delta y \frac{x_2-x_1}{x_4-x_1},
\tag{14}
\end{equation}где $x_4$ — координата конца линейки, $\Delta y$ — перемещение конца линейки.
Проведем опыты по измерению смещения линейки для разных координат $x_2$. При этом координаты $x_1=(0.0\pm0.1)~ см$ и $x_3=(48.0\pm0.1)~см$ будем оставлять неизменными.
| $x_2, ~см$ | $x_4, ~см$ | $\Delta y, ~мм$ | $\Delta l, ~мм$ | $\sigma_{\Delta l}, ~мм$ | $F, ~Н$ | $\sigma_F, ~Н$ |
| 41.0 | 500 | 8 | 0.68 | 0.05 | 1.22 | 0.076 |
| 41.0 | 400 | 6 | 0.51 | 0.05 | 0.98 | 0.061 |
| 41.0 | 320 | 5 | 0.43 | 0.05 | 0.78 | 0.049 |
| 41.0 | 280 | 4 | 0.34 | 0.06 | 0.68 | 0.043 |
| 58.0 | 500 | 5 | 0.60 | 0.04 | 0.86 | 0.042 |
| 58.0 | 400 | 3 | 0.36 | 0.04 | 0.69 | 0.033 |
Рассчитаем дополнительные силы растяжения $F$ и удлинения нити $\Delta l$ в каждом эксперименте. Оценим погрешности этих величин:\begin{equation}
\sigma_{\Delta l}=\Delta l\Big(\dfrac{\sigma_y}{y}+\dfrac{2\sigma_x}{x_2-x_1}+\dfrac{2\sigma_x}{x_4-x_1}\Big),\qquad
\tag{15} \sigma_{F}=F\Big(\dfrac{\sigma_{M}}{M}+\dfrac{2\sigma_x}{x_2-x_1}+\dfrac{2\sigma_x}{x_3-x_1}\Big),
\end{equation}где $\sigma_y=0.05~см$, $\sigma_x=0.1~см$.
Построим график зависимости силы, возникающей в нити, от ее удлинения $F(\Delta l)$.
Видно, что точки могут быть описаны прямой пропорциональностью, с угловым коэффициентом:
Для поиска модуля Юнга полипропилена остается лишь определить геометрические параметры нити. Длину нити, подвергающейся деформации, измерим напрямую $l=(37.6\pm0.2)~см$.
Окончательно для модуля Юнга полипропилена рассчитаем:
Относительную погрешность определения модуля Юнга рассчитаем как сумму относительных погрешностей величин $s$ и $k$ (погрешностью измерения длины нити можно пренебречь):