Logo
Logo

Частицы и волны

Согласно идее корпускулярно-волнового дуализма, частицы можно описывать как волны и наоборот. Используем эту идею для исследования нескольких квантовых эффектов.

Часть A. Квантовая частица в ящике (1.4 балла)

Рассмотрим движение частицы массы $m$ в одномерной потенциальной яме. Потенциальная энергия $V(x)$ задается формулой

$$V(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le L;\\ \infty, & x<0\,\mathrm{или}\,x>L. \end{cases}$$

Классическая частица может двигаться в таком потенциале с любой энергией, однако в квантовом случае разрешены только определенные дискретные значения энергии. В разрешенных состояниях частицу можно описать как стоячую волну де Бройля, узловые точки которой находятся на границах ямы.

A1  0,40 Определите минимально возможную энергию $E_\mathrm{min}$ частицы в потенциальной яме. Выразите ответ через $m$, $L$ и постоянную Планка $h$.

Состояние частицы с минимально возможной энергией называется основным состоянием, а все остальные разрешенные состояния — возбужденными состояниями. Расположим разрешенные значения энергии в порядке возрастания и обозначим их $E_n$, начиная с энергии основного состояния $E_1$.

A2  0,60 Найдите выражение для энергии $E_n$ (здесь $n=1,\:2,\:3,\dots$ ).

A3  0,40 Частица может перейти из одного состояния в другое только испустив или поглотив фотон с энергией, отвечающей разности энергий этих состояний. Найдите длину волны $\lambda_{21}$ фотона, испущенного при переходе частицы из первого возбужденного состояния ($E_2$) в основное состояние ($E_1$).

Часть B. Оптические свойства молекул (2.1 балла)

В этой части исследуем некоторые оптические свойства молекулы цианина Cy5, схематически показанной на рис. 1a. Ее оптические свойства определяются в первую очередь цепью атомов, составленном из чередующихся двойных и одинарных связей, как показано на рисунке 1b. Влияние колец на концах молекулы, а также радикалов R, намного меньше. Три из четырех валентных электронов каждого атома углерода C (и атомов азота N) в цепи образуют химические связи, а оставшиеся валентные электроны распределяются между атомами и могут двигаться по цепи атомов. Потенциальная энергия каждого такого электрона показана тонкой колеблющейся линией на рисунке 1c, где минимумы отвечают положениям атомов C и N.

Для простоты мы приблизим потенциальную энергию прямоугольной функцией (ур. 1) с длиной $L=10.5l$ (смотри жирную линию на рисунке 1c), здесь $l=140\:\mathrm{\:пм}$ — среднее расстояние между атомами (см. также рис. 1b). В результате мы получим электронный газ, состоящий из 10 электронов (7 от атомов C, 2 от атома N, 1 от иона N$^+$), свободно движущихся в одномерной потенциальной яме, обсуждавшейся в части A. Взаимодействием между электронами можно пренебречь. Однако нужно учесть, что электроны — фермионы, поэтому они подчиняются принципу запрета Паули. Также можно пренебречь влиянием электронов на движение атомных ядер.

B1  0,80 Найдите наибольшую длину волны $\lambda$ фотона, которую может поглотить молекула Cy5, система электронов которой находится в основном состоянии. Выразите ответ через $l$, физические постоянные и численный множитель и найдите численное значение.

B2  0,40 Другая молекула Cy3 имеет аналогичную структуру, но ее цепь атомов короче на 2 атома углерода. В какую сторону (в голубую или в красную) смещается за счет этого спектр поглощения молекулы по сравнению с Cy5? Найдите численно величину $\Delta\lambda$ сдвига спектра поглощения. Можно считать, что при удалении двух атомов углерода форма молекулы не меняется, только углеродная цепь становится короче на два межатомных расстояния.

Если молекула находится в возбужденном состоянии, она может спонтанно излучить фотон и перейти в основное состояние. Средняя скорость $K$ таких переходов (то есть относительное уменьшение числа молекул в возбужденном состоянии, $\mathrm{d}N/N$, за время $\mathrm{d}t$, $K=\dfrac{1}{N}\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$) определяется длиной волны испускаемого фотона $\lambda$, дипольным моментом перехода (который имеет порядок $d\simeq el$, где $e$ — элементарный заряд), а также электрической постоянной $\varepsilon_0$ и постоянной Планка $h$.

B3  0,70 Используя метод размерности, найдите выражение для скорости спонтанного излучения через $\varepsilon_0 $, $h$, $\lambda$, and $d$. Численный множитель в вашей формуле $=\dfrac{16}{3}\pi^3$.

B4  0,20 У молекулы Cy5 $d\approx2.4\:el$. Вычислите среднее время спонтанного излучения для первого возбужденного состояния молекулы Cy5, $\tau_\mathrm{Cy5}$, которое является обратным для средней скорости излучательного перехода в основное состояние.

Часть C. Конденсация Бозе-Эйнштейна (1.5 балла)

Эта часть не связана напрямую с частями A и B. Исследуем коллективное поведение частиц-бозонов. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули, и при низких температурах или высоких плотностях, может произойти явление конденсации Бозе-Эйнштейна (BEC, Bose-Einstein condensation). Это фазовый переход в коллективное состояние: большое количество тождественных частиц конденсируется в одно квантовое состояние и начинают вести себя как одна волна. Переход как правило происходит из-за охлаждения некоторого количества частиц ниже критической температуры. Однако его можно вызвать, увеличивая плотность вещества до критического значения при постоянной температуре.

Исследуем соотношение между температурой и плотностью в точке перехода. Оказывается, оценку критических значений можно получить из простого соображения: конденсация происходит, когда длина волны де Бройля, отвечающая среднеквадратичной скорости частиц, равна характерному расстоянию между частицами газа.

C1  0,40 Рассмотрим газ невзаимодействующих атомов $^{87} \mathrm{Rb}$. Напишите выражение для характерного импульса $p$ и характерной длины де Бройля $\lambda_\mathrm{dB}$ как функцию массы атома $m$, температуры $T$ и физических постоянных.

C2  0,50 Вычислите характерное расстояние между атомами в газе $\ell$, как функцию концентрации атомов $n$. Отсюда найдите критическую температуру $T_c$ в зависимости от массы атомов, их концентрации и физических постоянных.

Чтобы осуществить конденсацию в лаборатории, экспериментаторам потребовалось охладить газы до температур порядка $T_c= 100~ нК$.

C3  0,60 При какой концентрации $n_c$ атомов Rb переход происходит при такой температуре? Для сравнения также вычислите концентрацию $n_0$ идеального газа при стандартных условиях, то есть $T_0=\mathrm{300\:K}$ и $p_0=\mathrm{10^5\:Па}$. Во сколько раз концентрация идеального газа выше? Считайте, что масса атомов газа равна 87 атомных единиц массы ($m_\mathrm{amu}$).

Часть D. Трехлучевые оптические решетки (5 баллов)

Исследуем пространственно периодический потенциал, созданный за счет интерференции нескольких когерентных лазерных пучков. Из-за периодичности такой потенциал называется оптической решеткой. Потенциальная энергия $V(\vec{r})$ атома, движущегося через оптическую решетку, пропорциональна локальной интенсивности света. Можете использовать это в своих вычислениях.

$$V (\vec{r}) = - \alpha \, \big\langle |\vec{E} (\vec{r}, t)|^2 \big\rangle.$$

Здесь $\alpha$ — положительная постоянная, угловые скобки означают усреднение по времени, которое усредняет быстро меняющиеся функции. Электрическое поле, создаваемое лазером с номером $i$ задается формулой

$$\vec{E}_i = E_{0,i} \, \vec{\varepsilon}_i \cos (\vec{k}_i \cdot \vec{r} - \omega t),$$

где $E_{0,i}$ — амплитуда, $\vec{k}_i$ — волновой вектор, $\vec{\varepsilon}_i$ — единичный вектор поляризации.

Ваша задача — исследовать треугольную оптическую решетку, созданную за счет интерференции трех когерентных лазерных лучей равной интенсивности. Типичная установка показана на рис. 2a. Здесь все три луча поляризованы в направлении оси $z$, распространяются в плоскости $xy$ и пересекаются под равными углами в 120°. Выберите направление оси $x$ вдоль волнового вектора $\vec{k}_1$.

D1  1,40 Используя ур. 2 и 3, получите выражение для потенциальной энергии $V(\vec{r})$ как функцию $\vec{r}=(x,y)$ в плоскости пучков.

Подсказка: ответ можно выразить как постоянный вклад плюс сумму трех косинусов, аргумент которых имеет вид $\vec{b}_i\:\cdot\:\vec{r}$. Напишите результат в таком виде и укажите вектора $\vec{b}_i$.

D2  0,50 Суммарная потенциальная энергия имеет ось симметрии шестого порядка, значит потенциал инвариантен относительно поворотов на углы, кратные 60°, вокруг начала координат. Докажите, что это действительно так, используя простой аргумент.

Симметрия облегчает анализ двумерного распределения потенциала $V(\vec{r})$. Как показано на рис. 2b, правильный шестиугольник имеет оси симметрии (сплошные линии), соединяющие противоположные вершины и оси (пунктирные линии), соединяющие середины противоположных сторон. Многие свойства потенциала можно получить, рассматривая координатные оси $x$ и $y$, которые направлены вдоль оси симметрии.

D3  1,20 Найдите потенциал $V(\vec{r})$ на координатных осях, то есть определите функции $V_X(x) \equiv V(x,0)$ и $V_Y(y) \equiv V(0,y)$. Найдите положения экстремумов $V_X(x)$ и $V_Y(y)$, как функций одного аргумента. Поскольку эти функции периодические, для каждого из найденных семейств периодически повторяющихся максимумов и минимумов включите только по одному представителю в лист ответов.

Нужно определить положения узлов решетки, то есть минимумов двумерного потенциала $V(\vec{r})$. Координаты минимумов функций одного аргумента $V_X$ и $V_Y$ — это предлагаемые положения искомых минимумов. Однако нужно проверить, что это действительно минимумы, а не седловые точки. Как показано на рис. 2c, при изучении зависимости от одной из осей, можно ошибочно принять некоторые седловые точки за минимумы.

D4  0,80 Используйте результаты из предыдущего пункта, чтобы определить минимумы оптической решетки. Найдите все эквивалентные минимумы, ближайшие к началу координат (но не совпадающие с ним). Найдите расстояние $a$ между ближайшими минимумами (постоянную решетки). Выразите ответ через длину волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$.

Экспериментально дальнодействующее взаимодействие атомов возможно при использовании атомов Ридберга, которые имеют большой размер. Атом Ридберга — это возбужденное состояние атома, в котором один из электронов находится в состоянии с большим главным квантовым числом $n$. Размер атома Ридберга можно оценить, используя классический радиус орбиты электрона с моментом импульса $n\hbar$, где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка.

D5  1,10 Вычислите значение $n$, которое отвечает радиусу Rb атома Ридберга, сравнимую с длиной волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$ = 380 нм. Выразите ответ через $\lambda_\mathrm{las}$ и физические постоянные, и найдите его численное значение.