Согласно идее корпускулярно-волнового дуализма, частицы можно описывать как волны и наоборот. Используем эту идею для исследования нескольких квантовых эффектов.

Часть A. Квантовая частица в ящике (1.4 балла)

Рассмотрим движение частицы массы $m$ в одномерной потенциальной яме. Потенциальная энергия $V(x)$ задается формулой

$$V(x)=\begin{cases} 0, & 0\le x\le L;\\ \infty, & x<0\,\mathrm{или}\,x>L. \end{cases}$$

Классическая частица может двигаться в таком потенциале с любой энергией, однако в квантовом случае разрешены только определенные дискретные значения энергии. В разрешенных состояниях частицу можно описать как стоячую волну де Бройля, узловые точки которой находятся на границах ямы.

A1  ^0.40 Определите минимально возможную энергию $E_\mathrm{min}$ частицы в потенциальной яме. Выразите ответ через $m$, $L$ и постоянную Планка $h$.

Состояние частицы с минимально возможной энергией называется основным состоянием, а все остальные разрешенные состояния — возбужденными состояниями. Расположим разрешенные значения энергии в порядке возрастания и обозначим их $E_n$, начиная с энергии основного состояния $E_1$.

A2  ^0.60 Найдите выражение для энергии $E_n$ (здесь $n=1,\:2,\:3,\dots$ ).

A3  ^0.40 Частица может перейти из одного состояния в другое только испустив или поглотив фотон с энергией, отвечающей разности энергий этих состояний. Найдите длину волны $\lambda_{21}$ фотона, испущенного при переходе частицы из первого возбужденного состояния ($E_2$) в основное состояние ($E_1$).

Часть B. Оптические свойства молекул (2.1 балла)

В этой части исследуем некоторые оптические свойства молекулы цианина Cy5, схематически показанной на рис. 1a. Ее оптические свойства определяются в первую очередь цепью атомов, составленном из чередующихся двойных и одинарных связей, как показано на рисунке 1b. Влияние колец на концах молекулы, а также радикалов R, намного меньше. Три из четырех валентных электронов каждого атома углерода C (и атомов азота N) в цепи образуют химические связи, а оставшиеся валентные электроны распределяются между атомами и могут двигаться по цепи атомов. Потенциальная энергия каждого такого электрона показана тонкой колеблющейся линией на рисунке 1c, где минимумы отвечают положениям атомов C и N.

Для простоты мы приблизим потенциальную энергию прямоугольной функцией (ур. 1) с длиной $L=10.5l$ (смотри жирную линию на рисунке 1c), здесь $l=140\:\mathrm{\:пм}$ — среднее расстояние между атомами (см. также рис. 1b). В результате мы получим электронный газ, состоящий из 10 электронов (7 от атомов C, 2 от атома N, 1 от иона N$^+$), свободно движущихся в одномерной потенциальной яме, обсуждавшейся в части A. Взаимодействием между электронами можно пренебречь. Однако нужно учесть, что электроны — фермионы, поэтому они подчиняются принципу запрета Паули. Также можно пренебречь влиянием электронов на движение атомных ядер.

B1  ^0.80 Найдите наибольшую длину волны $\lambda$ фотона, которую может поглотить молекула Cy5, система электронов которой находится в основном состоянии. Выразите ответ через $l$, физические постоянные и численный множитель и найдите численное значение.

B2  ^0.40 Другая молекула Cy3 имеет аналогичную структуру, но ее цепь атомов короче на 2 атома углерода. В какую сторону (в голубую или в красную) смещается за счет этого спектр поглощения молекулы по сравнению с Cy5? Найдите численно величину $\Delta\lambda$ сдвига спектра поглощения. Можно считать, что при удалении двух атомов углерода форма молекулы не меняется, только углеродная цепь становится короче на два межатомных расстояния.

Если молекула находится в возбужденном состоянии, она может спонтанно излучить фотон и перейти в основное состояние. Средняя скорость $K$ таких переходов (то есть относительное уменьшение числа молекул в возбужденном состоянии, $\mathrm{d}N/N$, за время $\mathrm{d}t$, $K=\frac{1}{N}\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}$) определяется длиной волны испускаемого фотона $\lambda$, дипольным моментом перехода (который имеет порядок $d\simeq el$, где $e$ — элементарный заряд), а также электрической постоянной $\varepsilon_0$ и постоянной Планка $h$.

B3  ^0.70 Используя метод размерности, найдите выражение для скорости спонтанного излучения через $\varepsilon_0 $, $h$, $\lambda$, and $d$. Численный множитель в вашей формуле $

B4  ^0.20 У молекулы Cy5 $d\approx2.4\:el$. Вычислите среднее время спонтанного излучения для первого возбужденного состояния молекулы Cy5, $\tau_\mathrm{Cy5}$, которое является обратным для средней скорости излучательного перехода в основное состояние.

Часть C. Конденсация Бозе-Эйнштейна (1.5 балла)

Эта часть не связана напрямую с частями A и B. Исследуем коллективное поведение частиц-бозонов. Бозоны не подчиняются принципу запрета Паули, и при низких температурах или высоких плотностях, может произойти явление конденсации Бозе-Эйнштейна (BEC, Bose-Einstein condensation). Это фазовый переход в коллективное состояние: большое количество тождественных частиц конденсируется в одно квантовое состояние и начинают вести себя как одна волна. Переход как правило происходит из-за охлаждения некоторого количества частиц ниже критической температуры. Однако его можно вызвать, увеличивая плотность вещества до критического значения при постоянной температуре.

Исследуем соотношение между температурой и плотностью в точке перехода. Оказывается, оценку критических значений можно получить из простого соображения: конденсация происходит, когда длина волны де Бройля, отвечающая среднеквадратичной скорости частиц, равна характерному расстоянию между частицами газа.

C1  ^0.40 Рассмотрим газ невзаимодействующих атомов $^{87} \mathrm{Rb}$. Напишите выражение для характерного импульса $p$ и характерной длины де Бройля $\lambda_\mathrm{dB}$ как функцию массы атома $m$, температуры $T$ и физических постоянных.

C2  ^0.50 Вычислите характерное расстояние между атомами в газе $\ell$, как функцию концентрации атомов $n$. Отсюда найдите критическую температуру $T_c$ в зависимости от массы атомов, их концентрации и физических постоянных.

Чтобы осуществить конденсацию в лаборатории, экспериментаторам потребовалось охладить газы до температур порядка $T_c$= 100 нК.

C3  ^0.60 При какой концентрации $n_c$ атомов Rb переход происходит при такой температуре? Для сравнения также вычислите концентрацию $n_0$ идеального газа при стандартных условиях, то есть $T_0=\mathrm{300\:K}$ и $p_0=\mathrm{10^5\:Па}$. Во сколько раз концентрация идеального газа выше? Считайте, что масса атомов газа равна 87 атомных единиц массы ($m_\mathrm{amu}$).

Часть D. Трехлучевые оптические решетки (5 баллов)

Исследуем пространственно периодический потенциал, созданный за счет интерференции нескольких когерентных лазерных пучков. Из-за периодичности такой потенциал называется оптической решеткой. Потенциальная энергия $V(\vec{r})$ атома, движущегося через оптическую решетку, пропорциональна локальной интенсивности света. Можете использовать это в своих вычислениях.

$$V (\vec{r}) = - \alpha \, \big\langle |\vec{E} (\vec{r}, t)|^2 \big\rangle.$$

Здесь $\alpha$ — положительная постоянная, угловые скобки означают усреднение по времени, которое усредняет быстро меняющиеся функции. Электрическое поле, создаваемое лазером с номером $i$ задается формулой

$$\vec{E}_i = E_{0,i} \, \vec{\varepsilon}_i \cos (\vec{k}_i \cdot \vec{r} - \omega t),$$

где $E_{0,i}$ — амплитуда, $\vec{k}_i$ — волновой вектор, $\vec{\varepsilon}_i$ — единичный вектор поляризации.

Ваша задача — исследовать треугольную оптическую решетку, созданную за счет интерференции трех когерентных лазерных лучей равной интенсивности. Типичная установка показана на рис. 2a. Здесь все три луча поляризованы в направлении оси $z$, распространяются в плоскости $xy$ и пересекаются под равными углами в 120°. Выберите направление оси $x$ вдоль волнового вектора $\vec{k}_1$.

D1  ^1.40 Используя ур. 2 и 3, получите выражение для потенциальной энергии $V(\vec{r})$ как функцию $vec{r}=(x,y)$ в плоскости пучков.
Подсказка: ответ можно выразить как постоянный вклад плюс сумму трех косинусов, аргумент которых имеет вид $\vec{b}_i\:\cdot\:\vec{r}$. Напишите результат в таком виде и укажите вектора $\vec{b}_i$.

D2  ^0.50 Суммарная потенциальная энергия имеет ось симметрии шестого порядка, значит потенциал инвариантен относительно поворотов на углы, кратные 60°, вокруг начала координат. Докажите, что это действительно так, используя простой аргумент.

Симметрия облегчает анализ двумерного распределения потенциала $V(\vec{r})$. Как показано на рис. 2b, правильный шестиугольник имеет оси симметрии (сплошные линии), соединяющие противоположные вершины и оси (пунктирные линии), соединяющие середины противоположных сторон. Многие свойства потенциала можно получить, рассматривая координатные оси $x$ и $y$, которые направлены вдоль оси симметрии.

D3  ^1.20 Найдите потенциал $V(\vec{r})$ на координатных осях, то есть определите функции $V_X(x) \equiv V(x,0)$ и $V_Y(y) \equiv V(0,y)$. Найдите положения экстремумов $V_X(x)$ и $V_Y(y)$, как функций одного аргумента. Поскольку эти функции периодические, для каждого из найденных семейств периодически повторяющихся максимумов и минимумов включите только по одному представителю в лист ответов.

Нужно определить положения узлов решетки, то есть минимумов двумерного потенциала $V(\vec{r})$. Координаты минимумов функций одного аргумента $V_X$ и $V_Y$ — это предлагаемые положения искомых минимумов. Однако нужно проверить, что это действительно минимумы, а не седловые точки. Как показано на рис. 2c, при изучении зависимости от одной из осей, можно ошибочно принять некоторые седловые точки за минимумы.

D4  ^0.80 Используйте результаты из предыдущего пункта, чтобы определить минимумы оптической решетки. Найдите все эквивалентные минимумы, ближайшие к началу координат (но не совпадающие с ним). Найдите расстояние $a$ между ближайшими минимумами (постоянную решетки). Выразите ответ через длину волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$.

Экспериментально дальнодействующее взаимодействие атомов возможно при использовании атомов Ридберга, которые имеют большой размер. Атом Ридберга — это возбужденное состояние атома, в котором один из электронов находится в состоянии с большим главным квантовым числом $n$. Размер атома Ридберга можно оценить, используя классический радиус орбиты электрона с моментом импульса $n\hbar$, где $\hbar$ — приведенная постоянная Планка.

D5  ^1.10 Вычислите значение $n$, которое отвечает радиусу Rb атома Ридберга, сравнимую с длиной волны лазерного излучения $\lambda_\mathrm{las}$ = 380 нм. Выразите ответ через $\lambda_\mathrm{las}$ и физические постоянные, и найдите его численное значение.