A2
3.20
Как изменится формула для периода колебаний?
При опускании пробирки на глубину $x$ ее потенциальная энергия уменьшается на величину:
\[\Delta U_1 = -mgx\]Если пробирка опустится на величину $x$, то уровень воды в сосуде поднимется на высоту, которая удовлетворяет условию (условие постоянства объема воды):
\[y = \dfrac{Sx}{S_0-S}\]Следовательно, вода, которая находилась под пробиркой, поднимется выше первоначального уровня воды в сосуде. Масса этой воды $\Delta m = \rho S x$
Ее центр масс поднимется на высоту $\Delta h_c$:
\[\Delta h_c = h_0 +\dfrac{x+y}{2}=h_0+\dfrac{S_0x}{2(S_0-S)}\]Найдем изменение потенциальной энергии воды:
\[\Delta U_2 = \Delta m g\Delta h_c = \rho S gx\left(h_0+\dfrac{S_0x}{2(S_0-S)}\right)\]\[\Delta U = \Delta U_1+\Delta U_2 = \dfrac{1}{2}\dfrac{S_0S}{S_0-S}\rho gx^2\]
Пробирка опускается со скорость $v_0 = \dot{x}$, а вода между стенками сосуда и пробиркой поднимается со скорость $v = \dot{y} = \dfrac{Sv_0}{S_0-S}$
Масса, поднимающейся воды равна:
\[m_1 = \rho(S_0-S)h_0\]Полная кинетическая энергия пробирки и поднимающейся воды оказывается равной:
\[K = \dfrac{m_0v_0^2}{2}+\dfrac{m_1v^2}{2} = \dfrac{1}{2}\dfrac{S_0S}{S_0-S}\rho h_0v_0^2\]Полная энергия системы $E$ равна:
\[E=K+\Delta U = \dfrac{1}{2}\dfrac{S_0S}{S_0-S}\rho(h_0v_0^2+gx^2) =\text{const}\]
Ответ:
Продифференцируя выражение для полной энергии не трудно получить:
\[T=2\pi\sqrt{\dfrac{h_0}{g}}\]
