Logo
Logo

Акустический пинцет

Разбалловка

A1  0,30 Выразите $p_m$ через $u_m$, $k$, $\gamma$ и $p_0$.

A1. 1 Относительное измерение объёма через смещение $\varepsilon(x,t)\equiv\frac{\partial u}{\partial x}$ 0,10
A1. 2 Связь малых изменений объёма и давления $p_m/p_0+\gamma\cdot (-iku_m)=0$ 0,10
A1. 3 Ответ $p_m=ik\gamma p_0u_m$ 0,10
A2  0,30 Выразите скорость звука $c$ в газе через $\gamma$, $\rho_0$ и $p_0$.

A2. 1 Второй закон Ньютона для элемента газовой среды $-\frac{\partial p}{\partial x}=\rho_0\ddot u$ 0,10
A2. 2 Связь волнового числа и угловой частоты $\omega = kc$ 0,10
A2. 3 Ответ $c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}$ 0,10
A3  0,30 Выразите $p_m$ через $\omega$, $c$, $\rho_0$ и $u_m$.

A3. 1 Ответ $p_m=i\omega c\rho_0u_m$ 0,30
A4  0,50 Получите выражение для средней плотности потока энергии $\mathcal J$ в такой волне. Выразите ответ через $\rho_0$, $c$, $\omega$ и $u_m$.

A4. 1 M1 $\mathcal J=\overline{p\cfrac{\partial u}{\partial t}}$ 0,30
A4. 3 M2 $\mathcal J=c\mathcal W$ 0,10
A4. 4 Ответ $\mathcal J=\frac12\rho_0c\omega^2|u_m|^2$ 0,20
A5  0,30 Запишите выражение для давления $\delta p(x,t)$ в такой стоячей волне. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x$ и $t$.

A5. 1 Стоячая волна представлена как суперпозиция бегущих $u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t-kx)}\right)+u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t+kx)}\right)$ 0,10
A5. 2 Давление в бегущих волнах $p(x,t)=p_0+u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t-kx)}\right)-u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t+kx)}\right)$ 0,10
A5. 3 Ответ $\delta p(x,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)$ 0,10
B1  0,80 Запишите приближенное выражение для давления $\delta p_{Euler}(x_0,t)$ в рассматриваемой стоячей волне в случае $\left|\cfrac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1$. Выразите ответ через $c$, $\omega$, $\rho_0$, $u_m$, $t$ и $x_0$.

B1. 1 Выражение $x_0=x+u(x,t)$ 0,10
B1. 2 Обоснованное приближение $x_0=x+u(x_0,t)$ 0,20
B1. 3 Раскрытие $\delta p(x,t)$ в первом порядке 0,40
B1. 4 Ответ $\delta p_{Euler}(x_0,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)-4\rho_0u_m^2\omega^2\cos^2(kx)\cos^2(\omega t)^2$ 0,10
B2  0,40 Получите выражение для среднего давления $\overline{\delta p}(x_0)$ стоячей волны в фиксированной точке пространства. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$ и $x_0$.

B2. 1 Усреднение $\cos(\omega t)$, $\cos^2(\omega t)$ 2 × 0,10
B2. 2 Ответ $\overline{\delta p}(x_0)=-2\rho_0\omega^2|u_m|^2\cos^2(kx_0)$ 0,20
B3  0,80 Запишите выражение для силы $F(x_0)$, которая действует на частицу. (Полученное выражение и есть акустическая сила.) Запишите выражение для потенциала этой силы. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x_0$ и $a$.

B3. 1 M1 Идея: сила Архимеда 0,20
B3. 2 M1 Формула $-V\cfrac{\partial p}{\partial x}$ 0,40
B3. 3 M2 Записан интеграл для силы 0,20
B3. 4 M2 Правильно вычислен интеграл для силы 0,40
B3. 5 Ответ $F(x_0)=-\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_0a^3\omega^3|u_m|^2}{c}\sin(2kx_0)$ 0,20
C1  0,50 Найдите, при каком минимальном $|u_m|_{cr}$ возможна левитация частицы в волне. В ответ могут войти $a$, $\rho_0$, $\gamma$, $p_0$, частота звука $f_0$, плотность частицы $\rho$ и ускорение свободного падения $g$.

C1. 1 Сравнение акустической силы с силой тяжести $\max\left(F(x_0)\right)=\frac{4\pi}{3}a^3\rho g$ 0,30
C1. 2 Ответ $|u_m|_{cr}=\sqrt{\frac{\rho g}{16\pi^3f_0^3\rho_0}\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}}$ 0,20
C2  0,50 Найдите численно $|u_m|_{cr}$ для параметров установки.

C2. 1 Число $|u_m|_{cr}\approx16~мкм$ 0,50
C3  1,00 Какой громкости $D$ в децибелах соответствует ответ предыдущего пункта? Приведите численный ответ.

C3. 1 Громкость одиночной бегущей волны $D_1=120+10\log_{10}\left(\frac12\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\cdot4\pi^2f_0^2|u_m|^2\right)$ 0,40
C3. 2 Явно указано, как преобразуется громкость в случае стоячей волны ($=$ двух бегущих навстречу волн) 0,20
C3. 3 M1 Формульный и численный ответ $D=120+10\log_{10}\left(\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\left(2\pi f_0|u_m|\right)^2\right)\approx146~дБ$ 2 × 0,20
C3. 4 M2 Формульный и численный ответ (в случае громкости, записанной для одиночной бегущей волны) 2 × 0,10
D1  0,30 Из соображений размерности получите выражение для характерной толщины пограничного слоя $\delta$ с точностью до численного коэффициента, который в дальнейшем принимается равным единице. Выразите ответ через $\eta$, $\rho_0$ и $f_0$.

D1. 1 Размерность вязкости в СИ $[\eta]=\cfrac{кг}{м \cdot с}$ 0,10
D1. 2 Ответ $\delta=\sqrt{\eta/\rho_0 f_0}$ 0,20
D2  0,50 Для установки, описанной в предыдущей части, найдите отношение массы воздуха в пограничном слое $m_{вяз}$ к массе шарика $m_0$.

Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$.

D2. 1 Использовано приближение тонкого погранслоя (пункт на случай если участник не смог дальше) 0,10
D2. 2 Формула $m_{вяз}/m_0=\frac{3\sqrt{\eta\rho_0/f_0}}{a\rho}$ 0,30
D2. 3 Численный ответ $m_{вяз}/m_0\approx5.8\cdot10^{-4}$ 0,10
E1  0,30 Выразите среднюю плотность звуковой энергии $\mathcal W$ в резонаторе через $\rho_0$, $\omega$ и $u_m$.

E1. 1 Плотность энергии для одиночной бегущей волны $\mathcal W_1=\frac{1}{2}\rho_0\omega^2|u_m|^2$ 0,20
E1. 2 Ответ $\mathcal W=\rho_0\omega^2|u_m|^2$ 0,10
E2  1,00 Получите зависимость положения шарика от времени $x(t)$, если в начальный момент времени $x(t=0)=x_0$. Ответ выразите через $x_0$, $t$, $w$, $a$, $c$, $\mathcal W$, $\eta$ и частоту колебаний $f_0$.

E2. 1 Выражение для скорости шарика $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{4}{9}\frac{\rho_0a^2\omega^3|u_m|^2}{\eta c}\sin(2\pi x/w)$ 0,40
E2. 2 Интегрирование $\displaystyle\int\cfrac{\mathrm d(2\xi)}{\sin(2\xi)}=\ln\operatorname{tg}(\xi)$ 0,30
E2. 3 Ответ $x(t)=\frac{w}{\pi}\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x_0}{w}\right)\exp\left(-\frac{16\pi^2}{9}\frac{a^2f_0\mathcal W}{w\eta c}t\right)\right)$ 0,30
E3  0,40 Выразите среднюю плотность энергии $\mathcal W$ звуковой волны в резонаторе через начальную ($x_0$) и конечную ($x$) координаты шарика, время его движения $t$ и известные величины ($w$, $a$, $f_0$, $\eta$, $c$).

E3. 1 Ответ $\mathcal W=\frac{9}{16\pi^2}\frac{w\eta c}{a^2f_0t}\ln\left(\frac{\operatorname{tg}(\pi x_0/w)}{\operatorname{tg}(\pi x/w)}\right)$ 0,40
F1  0,30 Чему равна рабочая частота $f_0$ резонатора? Рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возбуждаться стоячая волна.

Скорость звука в воде $c=1.5~км/с$.

F1. 1 На ширине резонатора укладывается половина волны 0,10
F1. 2 Соотношение $\lambda f_0=c$ 0,10
F1. 3 Ответ $f_0=\frac{c}{2w}\approx2.0~МГц$ 0,10
F2  1,50 Найдите $A$. Рассчитайте добротность резонатора $Q$, если на рабочей частоте импеданс пьезоэлементов равен $Z=(4+3i)\cdot32~кОм$.

F2. 1 Пересчёт точек $(U_{pp}^2,\mathcal W)$ 7 × 0,05
F2. 2 Графическая линеаризация 0,30
F2. 3 Линеаризация прямой, проходящей не через начало координат -0,10
F2. 4 Численный ответ $A\approx 1.47\pm0.07~\frac{мкДж}{м^3\cdot В^2}$, узкие ворота $A\approx 1.47\pm0.03~\frac{мкДж}{м^3\cdot В^2}$ 2 × 0,10
F2. 5 Полная энергия в резонаторе $E=lwh\mathcal W$ 0,10
F2. 6 Потери энергии равны мощности, выделяющейся на резонаторе 0,05
F2. 7 Мощность на резонаторе $\overline{U(t)I(t)}$ 0,10
F2. 8 Ответ $\cfrac{1}{2}\cfrac{U_{pp}^2}{|Z|}\cfrac{\operatorname{Re}Z}{|Z|}$ 0,30
F2. 9 Потеряна $1/2$ и/или $\arg Z$ 2 × -0,10
F2. 10 Ответ $Q= 0.019$ 0,10