| A1. 1 Относительное измерение объёма через смещение $\varepsilon(x,t)\equiv\frac{\partial u}{\partial x}$ | 0.10 |
|
| A1. 2 Связь малых изменений объёма и давления $p_m/p_0+\gamma\cdot (-iku_m)=0$ | 0.10 |
|
| A1. 3 Ответ $p_m=ik\gamma p_0u_m$ | 0.10 |
|
| A2. 1 Второй закон Ньютона для элемента газовой среды $-\frac{\partial p}{\partial x}=\rho_0\ddot u$ | 0.10 |
|
| A2. 2 Связь волнового числа и угловой частоты $\omega = kc$ | 0.10 |
|
| A2. 3 Ответ $c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}$ | 0.10 |
|
| A3. 1 Ответ $p_m=i\omega c\rho_0u_m$ | 0.30 |
|
| A4. 1 M1 $\mathcal J=\overline{p\cfrac{\partial u}{\partial t}}$ | 0.30 |
|
| A4. 3 M2 $\mathcal J=c\mathcal W$ | 0.10 |
|
| A4. 4 Ответ $\mathcal J=\frac12\rho_0c\omega^2|u_m|^2$ | 0.20 |
|
| A5. 1 Стоячая волна представлена как суперпозиция бегущих $u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t-kx)}\right)+u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t+kx)}\right)$ | 0.10 |
|
| A5. 2 Давление в бегущих волнах $p(x,t)=p_0+u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t-kx)}\right)-u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t+kx)}\right)$ | 0.10 |
|
| A5. 3 Ответ $\delta p(x,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)$ | 0.10 |
|
| B1. 1 Выражение $x_0=x+u(x,t)$ | 0.10 |
|
| B1. 2 Обоснованное приближение $x_0=x+u(x_0,t)$ | 0.20 |
|
| B1. 3 Раскрытие $\delta p(x,t)$ в первом порядке | 0.40 |
|
| B1. 4 Ответ $\delta p_{Euler}(x_0,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx)\cos(\omega t)-4\rho_0u_m^2\omega^2\cos^2(kx)\cos^2(\omega t)^2$ | 0.10 |
|
| B2. 1 Усреднение $\cos(\omega t)$, $\cos^2(\omega t)$ | 2 × 0.10 |
|
| B2. 2 Ответ $\overline{\delta p}(x_0)=-2\rho_0\omega^2|u_m|^2\cos^2(kx_0)$ | 0.20 |
|
| B3. 1 M1 Идея: сила Архимеда | 0.20 |
|
| B3. 2 M1 Формула $-V\cfrac{\partial p}{\partial x}$ | 0.40 |
|
| B3. 3 M2 Записан интеграл для силы | 0.20 |
|
| B3. 4 M2 Правильно вычислен интеграл для силы | 0.40 |
|
| B3. 5 Ответ $F(x_0)=-\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_0a^3\omega^3|u_m|^2}{c}\sin(2kx_0)$ | 0.20 |
|
| C1. 1 Сравнение акустической силы с силой тяжести $\max\left(F(x_0)\right)=\frac{4\pi}{3}a^3\rho g$ | 0.30 |
|
| C1. 2 Ответ $|u_m|_{cr}=\sqrt{\frac{\rho g}{16\pi^3f_0^3\rho_0}\sqrt{\frac{\gamma p_0}{\rho_0}}}$ | 0.20 |
|
| C2. 1 Число $|u_m|_{cr}\approx16~мкм$ | 0.50 |
|
| C3. 1 Громкость одиночной бегущей волны $D_1=120+10\log_{10}\left(\frac12\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\cdot4\pi^2f_0^2|u_m|^2\right)$ | 0.40 |
|
| C3. 2 Явно указано, как преобразуется громкость в случае стоячей волны ($=$ двух бегущих навстречу волн) | 0.20 |
|
| C3. 3 M1 Формульный и численный ответ $D=120+10\log_{10}\left(\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\left(2\pi f_0|u_m|\right)^2\right)\approx146~дБ$ | 2 × 0.20 |
|
| C3. 4 M2 Формульный и численный ответ (в случае громкости, записанной для одиночной бегущей волны) | 2 × 0.10 |
|
| D1. 1 Размерность вязкости в СИ $[\eta]=\cfrac{кг}{м \cdot с}$ | 0.10 |
|
| D1. 2 Ответ $\delta=\sqrt{\eta/\rho_0 f_0}$ | 0.20 |
|
| D2. 1 Использовано приближение тонкого погранслоя (пункт на случай если участник не смог дальше) | 0.10 |
|
| D2. 2 Формула $m_{вяз}/m_0=\frac{3\sqrt{\eta\rho_0/f_0}}{a\rho}$ | 0.30 |
|
| D2. 3 Численный ответ $m_{вяз}/m_0\approx5.8\cdot10^{-4}$ | 0.10 |
|
| E1. 1 Плотность энергии для одиночной бегущей волны $\mathcal W_1=\frac{1}{2}\rho_0\omega^2|u_m|^2$ | 0.20 |
|
| E1. 2 Ответ $\mathcal W=\rho_0\omega^2|u_m|^2$ | 0.10 |
|
| E2. 1 Выражение для скорости шарика $\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}=-\frac{4}{9}\frac{\rho_0a^2\omega^3|u_m|^2}{\eta c}\sin(2\pi x/w)$ | 0.40 |
|
| E2. 2 Интегрирование $\displaystyle\int\cfrac{\mathrm d(2\xi)}{\sin(2\xi)}=\ln\operatorname{tg}(\xi)$ | 0.30 |
|
| E2. 3 Ответ $x(t)=\frac{w}{\pi}\operatorname{arctg}\left(\operatorname{tg}\left(\frac{\pi x_0}{w}\right)\exp\left(-\frac{16\pi^2}{9}\frac{a^2f_0\mathcal W}{w\eta c}t\right)\right)$ | 0.30 |
|
| E3. 1 Ответ $\mathcal W=\frac{9}{16\pi^2}\frac{w\eta c}{a^2f_0t}\ln\left(\frac{\operatorname{tg}(\pi x_0/w)}{\operatorname{tg}(\pi x/w)}\right)$ | 0.40 |
|
Скорость звука в воде $c=1.5~км/с$.
| F1. 1 На ширине резонатора укладывается половина волны | 0.10 |
|
| F1. 2 Соотношение $\lambda f_0=c$ | 0.10 |
|
| F1. 3 Ответ $f_0=\frac{c}{2w}\approx2.0~МГц$ | 0.10 |
|
| F2. 1 Пересчёт точек $(U_{pp}^2,\mathcal W)$ | 7 × 0.05 |
|
| F2. 2 Графическая линеаризация | 0.30 |
|
| F2. 3 Линеаризация прямой, проходящей не через начало координат | -0.10 |
|
| F2. 4 Численный ответ $A\approx 1.47\pm0.07~\frac{мкДж}{м^3\cdot В^2}$, узкие ворота $A\approx 1.47\pm0.03~\frac{мкДж}{м^3\cdot В^2}$ | 2 × 0.10 |
|
| F2. 5 Полная энергия в резонаторе $E=lwh\mathcal W$ | 0.10 |
|
| F2. 6 Потери энергии равны мощности, выделяющейся на резонаторе | 0.05 |
|
| F2. 7 Мощность на резонаторе $\overline{U(t)I(t)}$ | 0.10 |
|
| F2. 8 Ответ $\cfrac{1}{2}\cfrac{U_{pp}^2}{|Z|}\cfrac{\operatorname{Re}Z}{|Z|}$ | 0.30 |
|
| F2. 9 Потеряна $1/2$ и/или $\arg Z$ | 2 × -0.10 |
|
| F2. 10 Ответ $Q= 0.019$ | 0.10 |
|