A1  ^0.30 Выразите $p_m$ через $u_m$, $k$, $\gamma$ и $p_0$.

Относительное изменение объёма сегментов газовой среды\[\varepsilon(x,t)\equiv\frac{\partial u}{\partial x}=\operatorname{Re}\left(-iku_me^{i(\omega t-kx)}\right).\]Поскольку колебания изоэнтропичны, то\[(p(x,t)-p_0)/p_0+\gamma\varepsilon(x,t)=0\implies p_m/p_0+\gamma\cdot (-iku_m)=0\implies\]

A2  ^0.30 Выразите скорость звука $c$ в газе через $\gamma$, $\rho_0$ и $p_0$.

Рассматриваем динамику элемента среды:\[\frac{\mathrm dF}{\mathrm dx~\mathrm dS}=-\frac{\partial p}{\partial x}=\fbox{$-k^2\gamma p_0u_m$}=\rho_0\ddot u=-\rho_0\omega^2 u=\fbox{$-\rho_0k^2c^2u$}\implies\]

A3  ^0.30 Выразите $p_m$ через $\omega$, $c$, $\rho_0$ и $u_m$.

Подставляя $\gamma p_0=\rho_0 c^2$ в результат A1, получим:

A4  ^0.50 Получите выражение для средней плотности потока энергии $\mathcal J$ в такой волне. Выразите ответ через $\rho_0$, $c$, $\omega$ и $u_m$.

Поток энергии можно найти, усреднив мощность среды на единицу площади. Мощность среды\[N=p\frac{\partial u}{\partial t}=\left(p_0+\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0u_me^{i(\omega t-kx)}\right)\right)\cdot \operatorname{Re}\left(i\omega u_me^{i(\omega t-kx)}\right).\]Усредняя по времени, получим:

A5  ^0.30 Запишите выражение для давления $\delta p(x,t)$ в такой стоячей волне. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x$ и $t$.

Стоячая волна может быть представлена как суперпозиция двух бегущих волн $u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t-kx)}\right)+u_m\operatorname{Re}\left(e^{i(\omega t+kx)}\right)$. Тогда давление выразится как\[p(x,t)=p_0+u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t-kx)}\right)-u_m\operatorname{Re}\left(i\omega c\rho_0e^{i(\omega t+kx)}\right).\]Упрощая, получим:

B1  ^0.80 Запишите приближенное выражение для давления $\delta p_{Euler}(x_0,t)$ в рассматриваемой стоячей волне в случае $\left|\cfrac{\partial u}{\partial x}\right|\ll1$. Выразите ответ через $c$, $\omega$, $\rho_0$, $u_m$, $t$ и $x_0$.

Запишем точное выражение $x_0=x+u(x,t)$. В случае малых смещений можно заменить $x$ на $x_0$ в аргументе $u$, т.е. $x=x_0-u(x_0,t)=x_0-2u_m\cos(kx)\cos(\omega t)$. Подставляя это выражение в результат предыдущего пункта, получаем\[\delta p(x,t)=2\rho_0\omega cu_m\sin(kx_0-2ku_m\cos(kx)\cos(\omega t))\cos(\omega t).\]Раскрывая в первом порядке, получаем ответ:

B2  ^0.40 Получите выражение для среднего давления $\overline{\delta p}(x_0)$ стоячей волны в фиксированной точке пространства. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$ и $x_0$.

В результате усреднения $\overline{\cos(\omega t)}=0$, $\overline{\cos^2(\omega t)}=0$, поэтому:

B3  ^0.80 Запишите выражение для силы $F(x_0)$, которая действует на частицу. (Полученное выражение и есть акустическая сила.) Запишите выражение для потенциала этой силы. Выразите ответ через $\omega$, $c$, $\rho_0$, $u_m$, $x_0$ и $a$.

Сила, которая действует на тело при наличии градиента давления (также известная как сила Архимеда) даётся выражением\[F=-V\frac{\partial p}{\partial x}.\]Таким образом, средняя сила, действующая на частицу, будет равна ($V=4\pi a^3/3$):

C1  ^0.50 Найдите, при каком минимальном $|u_m|_{cr}$ возможна левитация частицы в волне. В ответ могут войти $a$, $\rho_0$, $\gamma$, $p_0$, частота звука $f_0$, плотность частицы $\rho$ и ускорение свободного падения $g$.

Левитация станет возможна, если $\underset{x_0}{\max} F(x_0)=mg=\frac{4\pi}{3}a^3\rho g$. Подставляя $c=\sqrt{\gamma p_0/\rho_0}$, $\omega=2\pi f_0$, получаем:

C2  ^0.50 Найдите численно $|u_m|_{cr}$ для параметров установки.

C3  ^1.00 Какой громкости $D$ в децибелах соответствует ответ предыдущего пункта? Приведите численный ответ.

Поскольку стоячая волна — это суперпозиция двух бегущих, можно найти громкость одной бегущей волны. Используя результат пункта A4, имеем:\[D_1=120+10\log_{10}\left(\frac12\sqrt{\gamma p_0\rho_0}\cdot4\pi^2f_0^2|u_m|^2\right).\]Так как бегущих волны две, громкость в стоячей волне будет на $10\log_{10}2~дБ$ больше. Итого:

Громкость получилась реалистичной =)

D1  ^0.30 Из соображений размерности получите выражение для характерной толщины пограничного слоя $\delta$ с точностью до численного коэффициента, который в дальнейшем принимается равным единице. Выразите ответ через $\eta$, $\rho_0$ и $f_0$.

Метод размерностей: $[\eta]=Па\cdot с=\cfrac{кг}{м \cdot с}$, $[f_0]=с^{-1}$, $[\delta] =м$.

D2  ^0.50 Для установки, описанной в предыдущей части, найдите отношение массы воздуха в пограничном слое $m_{вяз}$ к массе шарика $m_0$.

Вязкость воздуха $\eta=1.8\cdot10^{-5}~Па\cdot с$.

Оценим $\delta \approx 5\cdot10^{-5}~м\ll a$, поэтому $m_{вяз}/m_0={S\delta\rho_0}/{V\rho}\implies$

E1  ^0.30 Выразите среднюю плотность звуковой энергии $\mathcal W$ в резонаторе через $\rho_0$, $\omega$ и $u_m$.

Стоячая волна — это суперпозиция двух бегущих. В каждой волне плотность энергии (кинетической $+$ потенциальной) равна $\mathcal W_1=\frac{1}{2}\rho_0\omega^2|u_m|^2$. Таким образом, полная средняя плотность энергии равна

E2  ^1.00 Получите зависимость положения шарика от времени $x(t)$, если в начальный момент времени $x(t=0)=x_0$. Ответ выразите через $x_0$, $t$, $w$, $a$, $c$, $\mathcal W$, $\eta$ и частоту колебаний $f_0$.

Поскольку по условию резонаторы высокодобротные, амплитуда колебаний их стенок (пьезоэлементов) должна быть намного меньше, чем амплитуда колебаний элементов среды в резонаторе. Иными словами, на границах резонатора будут находиться узлы смещения, и стоячая волна будет описываться так же, как в предыдущих частях. Поскольку шарики безынерционные, в любой момент времени должно выполняться\[-\frac{8\pi}{3}\frac{\rho_0a^3\omega^3|u_m|^2}{c}\sin(2\pi x/w)=6\pi\eta a\frac{\mathrm dx}{\mathrm dt}.\]Подставляя $\xi=\pi x/w$, получаем:\[-\frac{16\pi^2}{9}\frac{a^2f_0\mathcal W}{w\eta c}\mathrm dt=\frac{\mathrm (2\xi)}{\sin(2\xi)}.\]Интегрируем:\[\int\frac{\mathrm d(2\xi)}{\sin(2\xi)}=\ln\operatorname{tg}(\xi)\implies\]

E3  ^0.40 Выразите среднюю плотность энергии $\mathcal W$ звуковой волны в резонаторе через начальную ($x_0$) и конечную ($x$) координаты шарика, время его движения $t$ и известные величины ($w$, $a$, $f_0$, $\eta$, $c$).

F1  ^0.30 Чему равна рабочая частота $f_0$ резонатора? Рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возбуждаться стоячая волна.

Скорость звука в воде $c=1.5~км/с$.

По условию рабочая частота — это минимальная частота, при которой в резонаторе может возникнуть стоячая волна вдоль оси $x$. Это значит, что на ширине резонатора $w$ должна укладываться половина волны. Учитывая $c=\lambda f_0$, получаем:

F2  ^1.50 Найдите $A$. Рассчитайте добротность резонатора $Q$, если на рабочей частоте импеданс пьезоэлементов равен $Z=(4+3i)\cdot32~кОм$.

Для получения $\mathcal W$ через $x$, $x_0$ и $t$ воспользуемся результатами предыдущей части. Для линеаризации построим зависимость $\mathcal W(U_{pp}^2)$. Пересчитаем точки, занесём в таблицу и построим график:

$U_{pp},~В$	$5$	$10$	$12$	$15$	$18$	$20$	$22$
$x,~мкм$	$144$	$124$	$110$	$74$	$54$	$34$	$18$
$U_{pp}^2,~В^2$	$25$	$100$	$144$	$225$	$324$	$400$	$484$
$\mathcal W,~мДж/м^3$	$0.038$	$0.141$	$0.203$	$0.351$	$0.446$	$0.571$	$0.732$

Угловой коэффициент этого графика будет равен $A$. Фитируя прямой, проходящей через начало координат, получаем:

Наконец, свяжем $A$ с добротностью резонатора. Полная энергия, содержащаяся в резонаторе:\[E=V\mathcal W=lhw\mathcal W.\]Потери энергии равны мощности, выделяющейся на пьезоэлементах, т.е.\[P=\overline{U(t)I(t)}=\frac12\frac{U_{pp}^2}{|Z|}\arg Z=\frac12U_{pp}^2\frac{\operatorname{Re}Z}{|Z|^2}.\]По определению добротности\[Q\equiv\frac{2\pi f_0E}{P}=4\pi f_0lhw A |Z|^2/\operatorname{Re}Z\implies\]