Изучение газовых потоков открывает множество интересных явлений, имеющих огромное число применений, начиная от бойлеров и заканчивая самолётами и ракетами. Для упрощения расчётов в этой задаче принимаются следующие приближения:
Постоянные, которые могут быть полезны в этой задаче:
Уравнение Бернулли представляет собой математическое выражение закона сохранения и преобразования энергии, записанное для стационарного потока идеального газа. Оно носит имя швейцарского физика Даниэля Бернулли (1700–1782), получившего это уравнение в 1738 году. Наиболее простой способ вывести уравнение – рассмотреть небольшую порцию вещества при её движении в потоке.
Если давление в слое неподвижного как целое газа резко увеличится (вследствие нагревания или резкого сжатия), этот слой начнёт быстро расширяться, сжимая при этом соседние слои. Результирующее возмущение давления будет таким образом распространяться по соседним слоям как упругая волна в газе.
Скорость этой волны $c$ – это скорость её волнового фронта (поверхности на переднем крае волны, колебания на которой происходят в одной фазе, а термодинамические величины имеют одно и то же значение). Хотя в системе отсчёта невозмущённого газа распространение волны – это нестационарный процесс (параметры газа в любой точке зависят от времени), в системе отсчёта волнового фронта этот же процесс уже будет стационарен, поэтому для него можно будет писать куда более простые уравнения.
Звуковые волны – это волны слабых возмущений ($\Delta p\ll p$ и $\Delta\rho\ll\rho$), которые перемещаются в воздухе с довольно большими скоростями порядка сотен метров в секунду. Из-за этого сжатие и расширение газа в таких волнах может считаться адиабатическим с показателем адиабаты $\gamma$.
Для классификации скоростей тел в жидкости, а также режимов течения, швейцарский авиационный инженер Якоб Аккерет (1898–1981) – один из ведущих авторитетов в авиации XX века – предложил в 1929 году назвать отношение скорости тела или жидкости $v$ к скорости звука в этой точке числом Маха\[M=v/c\]в честь великого чешского (в то время в составе Австрийской империи) физика и философа Эрнста Маха (1838–1916). В первую очередь эта безразмерная величина используется, чтобы различить сжимаемое и несжимаемое течения. В авиации границе между этими режимами соответствует значение $M=0.3$.
Давление воздуха на переднем конце самолёта равно $1.92\cdot10^5~Па$, а сам воздух в этой точке неподвижен относительно самолёта. Давление и температура в невозмущённой атмосфере равны $1.01\cdot10^5~Па$ и $21.1~{}^\circ\mathrm C$ соответственно. Показатель адиабаты $\gamma=1.40$.
Когда газ протекает через трубу, она оказывает сопротивление потоку, которым не всегда можно пренебречь. Пусть на входе в трубу давление газа было равно $p_1=6.90\cdot10^5~Па$, а число Маха $M_1=0.700$. Число Маха на выходе $M_2=1.00$. Относительное увеличение температуры газа при прохождении через трубу равно $5.00\cdot10^{-3}$. Площадь поперечного сечения трубы $S=9.29\cdot10^{-2}~м^2$. Показатель адиабаты $\gamma=1.40$.
Существует два типа акустических волн в газе: звуковые волны и ударные. Ударные волны возникают при движении тел в газе со сверхзвуковыми скоростями (т.е. скорость движения тела относительно окружающего газа превышает скорость звука). На сверхзвуковых скоростях перед телом возникает тонкий слой газа с повышенным давлением, называемый скачком уплотнения. Мах изучал подобные акустические волны, поэтому огибающая этой волны носит имя конуса Маха. Тело располагается в вершине конуса. При пересечении скачка уплотнения термодинамические параметры газа скачкообразно меняются. Конус Маха представляет собой пример косой ударной волны, однако в этой задаче будут изучаться только нормальные ударные волны, для которых волновой фронт перпендикулярен направлению движения газа или тела.
При прохождении ударной волны газ сжимается в необратимом адиабатическом процессе, который нельзя описать уравнением Пуассона. Тем не менее, уравнение для такого процесса было получено в конце XIX века независимо шотландским физиком Уильямом Ренкином (1820-1872) и французским инженером Пьером Гюгонио (1851-1887) из законов сохранения массы, энергии и импульса. Уравнение Ренкина–Гюгонио, также известное как ударная адиабата, связывает давление и плотность газа в ударной волне.
Обозначим $p_s$ и $\rho_s$ давление и плотность газа перед прохождением ударной волны (считаются известными), а $p_1$ и $\rho_1$ – давление и плотность после прохождения (неизвестны). Введём также для удобства безразмерные параметры $x_1\equiv\rho_1/\rho_s$ и $y_1\equiv p_1/p_s$.
C1 1.50 Покажите, что относительные плотность и давление связаны друг с другом соотношением вида:\[y_1=\cfrac{\alpha x_1-\beta}{\tau-\sigma x_1}.\]Получите явные выражения для коэффициентов $\alpha$, $\beta$, $\tau$ и $\sigma$. Показатель адиабаты газа $\gamma$ считайте известным.
Примечание: Проще всего будет рассмотреть трубку тока постоянного сечения, перпендикулярную волновому фронту ударной волны.
В результате взрыва образуется сферическая ударная волна, распространяющаяся радиально в неподвижном воздухе с давлением $p_s=1.01\cdot10^5~Па$ и температурой $t_s=20.0~{}^\circ\mathrm C$. Записывающее оборудование зарегистрировало максимальное давление в ударной волне $p_1=1.48\cdot10^6~Па$. Показатель адиабаты воздуха в следующих пунктах $\gamma=1.38$.
При прохождении ударной волны температура и давление резко увеличиваются, гораздо сильнее чем в квазистатическом адиабатическом процессе. После прохождения волны газ медленно адиабатически расширяется, однако в силу необратимости процесса сжатия, когда плотность газа возвращается к своему исходному значению, давление газа $p_2$ будет больше исходного давления $p_s$.