A1  ^0.50 Рассмотрим один моль идеального газа. Рассматривая в качестве трех величин $x$, $y$, $z$ его давление $p$, объем $V$ и температуру $T$, проверьте тождество (1).

A1. 1 Записано уравнение состояния идеального газа	0.10
A1. 2 Вычислены три частных производных	3 × 0.10
A1. 4 Соотношение проверено	0.10

A2  ^0.70

A2. 1 Изменение внутренней энергии в цикле равно нулю	0.10
A2. 2 Количество теплоты выражено как интеграл	0.20
A2. 3 Записано или используется в решении, что интеграл $EdE$ по циклу равен нулю	0.10
A2. 4 Правильная величина количества теплоты $$ Q = V (P_2 - P_1)(E_2 - E_1) $$	0.20
A2. 5 Верный знак	0.10

A3  ^0.40

A3. 1 Использовано выражение для количества теплоты в виде интеграла	0.10
A3. 2 Обоснован знак интеграла	0.10
A3. 3 Верный ответ (по часовой стрелке)	0.20

A4  ^0.50 Пусть $BC$ и $AD$ — изотермы, причем на участке $BC$ температура сегнетоэлектрика равна $T_1$, а на участке $AD$ — $T_2$, $|T_1 - T_2|\ll T_1$. Выразите полученное сегнетоэлектриком за весь цикл количество теплоты $Q$ через $V$, $(\partial P/\partial T)_E$ (производная поляризации при постоянном электрическом поле), $T_1$, $T_2$ и разность электрических полей в точках $D$ и $A$: $d E = E_D- E_A \approx E_C - E_B$.

A4. 1 Перенос треугольников для вычисления площади	0.10
A4. 2 Горизонтальный размер равен $dE$	0.10
A4. 3 Вертикальный размер $ \left( \frac{\partial P}{\partial E}\right)_T (T_1 - T_2)$	0.10
A4. 4 Ответ (с правильным знаком) $$ Q = V\left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_E (T_1 - T_2) dE $$	0.20

A5  ^0.50 В условиях предыдущего пункта найдите тепло $Q_+$, которое подводится к сегнетоэлектрику за цикл. Укажите, на какой из изотерм тепло подводится, а на какой — отводится. Выразите ответ через $V$, $T_1$, $T_2$, $\Delta E$, $(\partial S/\partial E)_T$ (производная энтропии по электрическому полю при постоянной температуре).

A5. 1 Указано, что тепло подводится на участке с большей температурой	0.10
A5. 2 Правильно выбранa изотермa $DA$	0.10
A5. 3 Связь тепла и изменения энтропии	0.10
A5. 4 Изменение энтропии связано с $dE$	0.10
A5. 5 Ответ $ Q_+ =- V\left( \frac{\partial S}{\partial E}\right)_T T_2 dE $	0.10

A6  ^0.30 Используя формулу для коэффициента полезного действия для цикла Карно, а также результаты $A4$, $A5$, докажите соотношение (2). Считайте, что полное количество теплоты, полученное сегнетоэлектриком за цикл, совпадает с полезной работой.

A6. 1 Записана формула для кпд через температуры	0.10
A6. 2 Формула для кпд через работу и тепло	0.10
A6. 3 Доказательства корректно завершено	0.10

A7  ^0.60 Выразите полученное сегнетоэлектриком за весь цикл количество теплоты $Q$ через объем $V$, изменение электрического поля на изотерме $dE = E_B - E_A \approx E_C - E_D$, температуры $T_1$, $T_2$ и частные производные $(\partial E/\partial T)_P$, $(\partial P/\partial E)_T$. Примечание: вам может потребоваться связать между собой изменение электрического поля на изотерме с изменением поляризации с помощью частной производной при постоянной температуре.

A7. 1 Правильное перемещение треугольника	0.10
A7. 2 Выражена длина горизонтальной стороны $ \left(\frac{\partial E}{\partial T} \right) _P(T_2 - T_1). $	0.20
A7. 3 Выражена вертикальная сторона $ \left( \frac{\partial P}{\partial E}\right)_T dE$	0.20
A7. 4 Ответ $$ Q =V \left( \frac{\partial P}{\partial E}\right)_T \left(\frac{\partial E}{\partial T} \right) _P(T_2 - T_1)dE $$	0.10

A8  ^0.50 Используя тождество (1) для тройки переменных $E$, $P$, $T$, выразите теплоту $Q$ из предыдущего пункта через $V$, $T_1$, $T_2$ $dE$ и $(\partial P/\partial T)_E$.

A8. 1 Корректно записано тождество	0.20
A8. 2 Выражена комбинация производных $\left( \frac{\partial P}{\partial E}\right)_T \left(\frac{\partial E}{\partial T} \right) _P$	0.10
A8. 3 Ответ $ Q = -V \left(\frac{\partial P}{\partial T}\right)_E (T_2 - T_1)dE $	0.20

A9  ^0.50 Запишите выражение для тепла $Q_+$, подведенного в цикле. Выразите ответ через $V$, $T_1$, $T_2$, $\Delta E$, $(\partial S/\partial E)_T$ (производная энтропии по электрическому полю при постоянной температуре).

A9. 1 Правильно выбрана изотерма $CD$, на которой подводится тепло	0.20
A9. 2 Связь подведенного тепла и изменения энтропии	0.10
A9. 3 Энтропия выражена через $dE$	0.10
A9. 4 Ответ $ Q_+ =- T_2 V \left(\frac{\partial S}{\partial E} \right)_T dE. $	0.10

A10  ^0.30 Используя результаты $A8$, $A9$ и формулу для коэффициента полезного действия цикла Карно, докажите для рассматриваемого случая формулу (2). Определение полезной работы такое же, как в $A6$.

A10. 1 Записана формула для кпд через температуры	0.10
A10. 2 Записана формула для кпд через работу	0.10
A10. 3 Доказательство корректно завершено	0.10

A11  ^0.70 Используя формулу (2) (ее можно применять без доказательства) и соотношение (1) для тройки переменных $S$, $T$, $E$, получите формулу
$$
\left( \frac{\partial T}{\partial E}\right)_S = - \frac{T}{C_E} \left(\frac{\partial P}{\partial T} \right)_E.
$$
Здесь $C_E$ — теплоемкость единицы объема сегнетоэлектрика при постоянном электрическом поле
$$
C_E = \left( \frac{\delta Q}{dT}\right)_E.
$$
Эта формула показывает, что можно изменить температуру сегнетоэлектрика, адиабатически изменяя электрическое поле.

A11. 1 Корректно записано тождество (1) в рассматриваемом случае	0.20
A11. 2 Теплоемкость выражена через производную энтропии $ C_E = T \left( \frac{\partial S}{\partial T}\right)_E. $	0.20
A11. 3 Из тождества выражена нужная производная $ \left( \frac{\partial T}{\partial E}\right)_S = - \left( \frac{\partial S}{\partial E}\right)_T \left( \frac{\partial S}{\partial T}\right) _E ^{-1} $ (или эквивалентное выражение)	0.10
A11. 4 Доказательство корректно завершено	0.20

B1  ^1.40 Найдите положения равновесия иона в потенциале. Выразите ответ через $x_0$, $a_2$, $a_4$, $a_6$. Найдите количество положений равновесия в зависимости от значения $a_2$ и укажите, какие из них устойчивы.

B1. 1 Записано уравнение $\partial U/\partial x = 0$	0.20
B1. 2 Указано решение $x = 0$	0.10
B1. 3 Записана формула для корней биквадратного уравнения (можно также выражение для $x^2$) $$x = \pm x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 \pm \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 a_2}\right)} $$	0.30
B1. 4 Указано, что решение $x = \pm x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 + \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 a_2}\right)} $ существует при $a_2 < a_4^2/4 a_6$	0.10
B1. 5 Указано, что решение $x = \pm x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 + \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 a_2}\right)} $ устойчиво	0.10
B1. 6 Указано, что решение $x = \pm x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 - \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 a_2}\right)} $ существует при $0 < a_2 < a_4^2/4 a_6$	0.10
B1. 7 Указано, что решение $x = \pm x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 - \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 a_2}\right)} $ неустойчиво	0.10
B1. 8 Указано, что решение $x = 0$ устойчиво при $a_2 > 0 $ и неустойчиво при $a_2 < 0$	0.10
B1. 9 Указано что (по 0.1 балла за каждый из случаев) $a_2 > a_4^2/4a_6$ — 1 положение равновесия $0 < a_2 < a_4^2/4a_6$ — 5 положений равновесия $a_2 < 0$ — 3 положения равновесия	3 × 0.10

B2  ^0.70 Численно определите, начиная с какого значения $a_{2c}$ минимально возможному значению потенциальной энергии отвечает ненулевое значение $x$. Опишите использованный метод. Используйте численные значения $a_4 = 1$, $a_6 = 1$.

B2. 1 Указано или следует из решения, что сравниваются энергии в точке $x = 0$ и $x = x_2$ или $x = x_3$	0.20
B2. 2 Описан метод численного решения уравнения (например деление отрезка пополам) или аналитическое решение	0.20
B2. 3 $a_{2c} = 3/16 \approx 0.1875$	0.30

B3  ^0.40 Найдите зависимость спонтанной поляризации сегнетоэлектрика $P$ от температуры. Выразите ответ через $n$, $q$, $x_0$, $a_4$, $a_6$, $\alpha$ и обезразмеренную температуру $t = (T- T_c)/T_c$ Считайте, что в результате взаимодействия все ионы при поляризации смещаются в одну и ту же сторону.

B3. 1 $P = n q x$	0.10
B3. 2 $$ P = \pm n q x_0 \sqrt{\frac{1}{2 a_6} \left( a_4 + \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 \alpha t}\right)} $$	0.20
B3. 3 $P = 0$ при $\alpha t > a_c$	0.10

B4  ^0.70 Используя результаты предыдущих пунктов, вычислите производную поляризации по температуре при электрическом поле, равном нулю $(\partial P/\partial T)_{E = 0}$. Выразите ответ через $n$, $q$, $x_0$, $a_4$, $a_6$, $\alpha$, $t$ и $T_c$. Постройте график зависимости этой производной от $t$, укажите характерные точки. При расчете координат точек используйте численные данные из $B2$. Влиянием на ионы собственного электрического поля, создаваемого сегнетоэлектриком, можно пренебречь.

B4. 1 Корректно вычислена производная $$ \left( \frac{\partial P}{\partial T}\right)_E = \pm \frac{nq x_0}{T_c \sqrt{2 a_6}} \frac{-a_6 \alpha}{\sqrt{a_4 + \sqrt{a_4^2 - 4 a_6 \alpha t}}\sqrt{a_4^2 - 4 a_6 \alpha t}} $$	0.30
B4. 2 Арифметическая ошибка в вычислении	-0.15
B4. 3 График: подписаны оси (при наличии вычисленной функции)	0.10
B4. 4 График: кривая монотонно растет по модулю по приближению к критической точке	0.10
B4. 5 График: есть линия $(\partial P/\partial T) = 0$ при $\alpha t > a_{2c}$	0.10
B4. 6 График: рассчитано значение производной в точке фазового перехода	0.10

B5  ^1.30 Пусть теперь к сегнетоэлектрику приложили слабое внешнее электрическое поле $E$. Тогда изменение поляризации диэлектрика можно считать линейным по полю. Запишите уравнение, из которого можно найти положения равновесия при включенном электрическом поле. Найдите из этого уравнения поляризуемость
$$
\alpha = \left(\frac{\partial P}{\partial E} \right)_{T, E = 0}.
$$
Выразите ответ через $n$, $q$, $x_0$, $U_0$, $a_4$, $a_6$, $\alpha$, $t$ и положение равновесия иона без учета электрического поля $x$. Постройте график зависимости поляризуемости от обезразмеренной температуры $t$, укажите характерные точки. При расчете координат точек используйте численные данные из $B3$.

B5. 1 Записано условие равновесия с учетом электрического поля	0.20
B5. 2 Найдено решение выше критической температуры	0.20
B5. 3 Идея разложения уравнения до первого порядка по отклонению от положения равновесия	0.20
B5. 4 Связь производной поляризации и смещения $\frac{\partial P}{\partial E} = n q x_0 \frac{\partial y}{\partial E}$ или аналог	0.10
B5. 5 $$ \frac{\partial P}{\partial E} = \frac{1}{\alpha t - 3 a_4 (x^2/x_0^2)+ 5 a_6 (x^4/x_0^4)} \frac{n q^2 x_0^2}{U_0}. $$	0.20
B5. 6 График: гипербола при температуре выше критической	0.10
B5. 7 График: убывающая кривая при удалении от точки фазового перехода при температуре меньше критической	0.10
B5. 8 График: найдены значения производных с двух сторон при температуре фазового перехода	2 × 0.10