Pho.rs: Асинхронный двигатель

A1 ^1.00 Получите зависимость силы тока в катушке $I(t)$ от времени $t$. Примите за $t=0$ момент времени, когда направления индукции магнитного поля $\vec{B}$ и вектора нормали $\vec{n}$ совпадают.

1 Верное выражение для ЭДС индукции: $$\varepsilon_{ind} = -L\dot{I} + (\Omega-\omega)NBA\sin{(\Omega-\omega)t}.$$	0.50
2 Получен правильный ответ: $$I(t) = \frac{(\Omega-\omega)NBA}{\sqrt{R^2+(\Omega-\omega)^2L^2}} \cdot \sin\left((\Omega - \omega)t - \arctan\left(\frac{(\Omega - \omega)L}{R}\right)\right).$$	0.50

A2 ^1.00 Определите момент сил $T$ как функцию произвольного значения скольжения $s$. Во что переходит ответ при $s\ll{1}$?

1 Верное выражение для момента сил в произвольный момент времени: $$T_z(t) = \frac{(\Omega-\omega)N^2B^2A^2}{\sqrt{R^2+(\Omega-\omega)^2L^2}} \cdot \sin\left((\Omega - \omega)t - \arctan\left(\frac{(\Omega - \omega)L}{R}\right)\right)\cdot\sin(\Omega-\omega)t.$$	0.40
2 Верное усреднение по времени: $$T = \frac{s\Omega R N^2B^2A^2}{2(R^2+s^2\Omega^2L^2)}.$$	0.40
3 Верный ответ для малых $s$: $$T = \frac{s\Omega N^2B^2A^2}{2R}.$$	0.20

A3 ^1.00 Для коэффициента $\beta=\Omega L/R=10$ постройте график функции $T(s)$. Для определения момента сил $T$ выберите безразмерные координаты.

1 Правильный вид графика.	0.50
2 Указаны характерные значения.	0.50

A4 ^1.00 Найдите максимальный момент сил $T_{max}$ и соответствующее ему скольжение $s_0$ при произвольных значениях $\beta$. Учтите, что $s\in [0{;}1]$.

1 Верные ответы при $\beta>1$ и $\beta\leqslant 1$: $$s_0 = \frac{1}{\beta} \quad \text{при $\beta > 1$};TEXEQUATIONs_0 = 1 \quad \text{при $\beta \leqslant 1$}.$$	2 × 0.25
2 Верные ответы при $\beta>1$ и $\beta\leqslant 1$: $$T_{max} = \frac{\Omega N^2B^2A^2}{4\beta R} \quad \text{при $\beta > 1$};TEXEQUATIONT_{max} = \frac{\Omega N^2B^2A^2}{2(1+\beta^2) R} \quad \text{при $\beta \leqslant 1$}.$$	2 × 0.25

A5 ^0.50 Определите среднюю по времени мощность $\langle P_\text{пот}\rangle$ потерь энергии. Считайте, что потерь энергии на трение и излучение нет.

1 Получен верный ответ:
$$P_\text{пот} = \frac{s^2\Omega^2N^2B^2A^2}{2R(1+s^2\beta^2)}.$$

0.50

A6 ^0.50 Какова среднюю по времени полезную мощность мощность $\langle P_\text{мех}\rangle$ двигателя?

1 Верный ответ:
$$P_\text{мех} = \frac{s(1-s)\Omega^2N^2B^2A^2}{2R(1+s^2\beta^2)}.$$

0.50

A7 ^0.50 Определите КПД двигателя $\eta$ как функцию скольжения $s$.

1 Верная формула для КПД: $$\eta = \frac{P_{мех}}{P_{мех}+P_{пот}}.$$	0.30
2 Верный ответ: $$\eta = 1-s.$$	0.20

B1 ^2.00 Определите графически точки устойчивой и неустойчивой работы двигателя на графике $T(s)$, полученном в пункте $\mathrm{A3}$, для различных значений $K-s$. Ответ обоснуйте.

1 Верное условие устойчивости: $$\frac{dT}{d\omega} - \frac{T}{\omega}<0$$	0.60
2 Верная идея графического определения граничных точек.	0.60
3 Верно указаны два участка устойчивости.	2 × 0.40

B2 ^1.50 Получите содержащее только $\beta$ и $s$ аналитическое уравнение, позволяющее определить границы значений $s$, соответствующих устойчивой работе двигателя. Найдите численно значения этих границ с точностью до четырёх значащих цифр для $\beta=10$.

2 Верное уравнение: $$2\beta^2s^3 - \beta^2s^2+1=0.$$	0.50
3 Верные границы устойчивости для $\beta = 10$: $$s\in [0,0.1138) \cup(0.4781,1].$$	2 × 0.50

C1 ^1.00 Имеют ли отрицательные значения скольжения $s$ какой-либо физический смысл? Если да, то какой? Если нет, то почему?

1 Верный ответ: при отрицательных $s$ получаем генератор.

1.00

Асинхронный двигатель

Разбалловка