Плоскость зеркала горизонтальна, поэтому источник света $S$ и его изображение $S^*$ всегда расположены на одной вертикальной прямой. Тогда, поскольку проекция скорости $v_x$ источника на горизонтальную ось $x$ остаётся постоянной, проекция скорости изображения источника на соответствующую ось $v^*_x=v_x$.
В связанной с зеркалом системе отсчёта ускорение источника равняется: $$\vec{a}_{отн}=\vec{g}-\vec{a}{.}
$$
В системе отсчёта зеркала траектории источника $S$ и его изображения $S^*$ симметричны относительно зеркала, значит для ускорения изображения источника относительно зеркала выполняется:
$$\vec{a}^*_{отн}=-\vec{a}_{отн}{.}
$$
Для ускорения изображения источника в лабораторной системе отсчёта находим:
$$\vec{a}^*=\vec{a}+\vec{a}^*_{отн}=2\vec{a}-\vec{g}{.}
$$Далее будем считать, что ускорение зеркала направлено вертикально вверх.
Рассмотрим различные варианты определения ускорения.
Первый способ:
Рассмотрим траекторию источника между точками, расположенными на одной горизонтали. Между ними он движется в течение времени $t$, равного:
$$t=\cfrac{2v_{в}}{g}{,}$$где $v_{в}$ – вертикальная компонента скорости источника в указанных положениях.
Тогда его горизонтальное перемещение за данное время равняется:
$$\Delta x=v_xt=\cfrac{2v_xv_{в}}{g}{.}$$Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками, расположенными на одной горизонтали, получим:
$$\Delta{x}^*=\cfrac{2v_xv^*_{в}}{g+2a}{,}$$где $v^*_{в}$ – вертикальная компонента скорости изображения источника в указанных положениях. Здесь мы учли равенство $v^*_x=v_x$.
Разделив уравнения друг на друга, получим:
$$\cfrac{\Delta x}{\Delta x^*}=\cfrac{v_{в}}{v^*_{в}}\left(1+\cfrac{2a}{g}\right)\Rightarrow a=\cfrac{g}{2}\left(\cfrac{v^*_{в}}{v_{в}}\cfrac{\Delta x}{\Delta x^*}-1\right)$$Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения $\Delta{x}$ и $\Delta{x}^*$, которым соответствуют точки, расположенные на левом крае рисунка. Соответствующее отношение вертикальных компонент скоростей измерим как отношение угловых коэффициентов касательных. Получим:
$$\cfrac{\Delta x}{\Delta x^*}=0{,}865\pm 0{,}010{,}\qquad \cfrac{v^*_{в}}{v_{в}}=\cfrac{k^*}{k}=0{,}740\pm 0{,}015\Rightarrow a=-(1{,}76\pm 0{,}10)~{м}/{с}^2{.}$$Таким образом:
Второй способ:
Введём прямоугольную систему координат $Oxy$.
Определим координаты вершин обеих траекторий, для этого проведём горизонтальные прямые и построим к ним серединные перпендикуляры. Координаты вершины для траектории источника (на рисунке обозначено точкой 1) определяются однозначно $x_в=36~ус. единиц, y_в=18~ус. единиц$. Координаты вершины траектории изображения (точка 3) по оси ординаты определяются хуже, поэтому возьмём приближенное значение, таким образом $x_в^*=45~ус. единиц,~y_в^*\approx21~ус. единиц$.
Рассмотрим движение источника света между точками 1 и 2. Между этими двумя точками источник двигался в течение времени $t_1$, тогда его горизонтальное и вертикальное перемещения:
$$\Delta x=v_xt_1;\\ \Delta y=\frac{gt_1^2}{2}.$$Время движения из формулы для горизонтального перемещения: $t_1=\frac{\Delta x}{v_x}$. Тогда:
$$g=\frac{2\Delta y}{t_1^2}=\frac{2\Delta y\cdot v_x^2}{\Delta x^2}.$$Аналогично рассматривая траекторию изображения источника между точками 3 и 4, с учетом равенства горизонтальных проекций скоростей $v_x=v_x^*$, получим:
$$\Delta x^*=v_x^*t_2;\\ \Delta y^*=\frac{(g+2a)t_2^2}{2};\\ g+2a=\frac{2\Delta y^*}{t_2^2}=\frac{2\Delta y^*\cdot v_x^2}{(\Delta x^*)^2}.$$Разделим получившиеся выражения для ускорений друг на друга:
$$\frac{g+2a}{g}=\frac{\Delta y^*\cdot \Delta x^2}{\Delta y \cdot (\Delta x^*)^2}\\
a=\frac{g}{2}\left(\frac{\Delta y^*\cdot \Delta x^2}{\Delta y \cdot (\Delta x^*)^2}-1\right).$$Необходимые значения в условных единицах: $\Delta y^*=39 ,~\Delta x^*=65 , ~\Delta x=74 $ и $\Delta y=76 $ найдены с помощью масштабно-координатной сетки.
$$a=\frac{9{,}80}{2}\left(\frac{39\cdot 74^2}{76\cdot 65^2}-1\right)=-1{,}64~м/с^2.$$Отличие от значения, полученного первым способом, обуславливается погрешностью определения координаты вершины траектории изображения источника.
Третий способ:
Предположим, что ускорение зеркала направлено вниз.
Проведём касательные к обеим траекториям в начальный момент времени и построим векторные треугольники перемещений для источника и его изображения.
Для улучшения точности рассмотрим максимально возможные значения $\vec{v}_0t$ и $\vec{u}_0t$, где $\vec{v}_0$ и $\vec{u}_0$ скорости источника и его изображения. Векторные треугольники будем строить таким образом, чтобы горизонтальные перемещения источника и изображения были равны. Таким образом время $t$ будет одинаковым для обоих случаев.
Тогда отношение полных ускорений будет равно отношению длин соответствующих сторон двух векторных треугольников перемещений:
$$\frac{g-2a}{g}=\frac{l_2}{l_1},$$где $l_1$ это длина в условных единицах вертикальной стороны треугольника перемещений источника, а $l_2$ — вертикальной стороны треугольника перемещений изображения источника. Тогда:
$$a=\frac{g}{2}\left(1-\frac{l_2}{l_1}\right)=\frac{9{,}80}{2}\left(1-\frac{27}{42}\right)=1{,}75~м/с^2.$$
Четвёртый способ:
В любой момент времени точка, принадлежащая плоскости зеркала, находится на середине вертикального отрезка, соединяющего точки, принадлежащие траекториям источника и изображения. Воспользовавшись этим, мы можем восстановить траекторию точки зеркала
Ускорение зеркала относительно земли равно $\vec{a}$. Из рисунка видно, что оно направлено вертикально вниз. Зная, что ускорение источника равно $\vec{g}$, и определив координаты вершин парабол, либо характерные расстояния по вертикали и горизонтали, мы можем найти величину ускорения, воспользовавшись любым из вышеописанных способов решения.