Pho.rs: Вода и масло

A1 ^1.00 Запишите условия равновесия воды в трубке, выразите из него зависимость длины столба $l_2$ от длины столба $l_1$.

В сообщающихся высоты уровней жидкости в обоих коленах в состоянии равновесия равны, поэтому должно выполняться условие

Ответ: \begin{equation}
h_{10} + k_1l_1 = h_{20} + k_2l_2
\tag{1}\end{equation}

Из этого условия следует, что

Ответ: \begin{equation}
l_2 = \frac{h_{10} - h_{20}}{k_2} + \frac{k_1}{k_2}l_1
\tag{2}\end{equation}

A2 ^2.50 Медленно добавляя воду в трубки, проведите измерения длин столбиков в обеих трубках. По полученным данным постройте график зависимости $l_2 (l_1)$ .

В таблице ниже приведены результаты измерений длин столбиков воды в обеих трубках (проведены две серии измерений и объединены). График полученной зависимости показан на рисунке.

Ответ:

$l_2, ~мм$	18	45	68	82	109	133	175	44	60	78	107	135	150	169
$l_1,~мм$	14	46	72	89	120	148	194	45	64	85	119	151	168	190

Ответ:

A3 ^1.00 С помощью построенного графика определите отношение коэффициентов ${k_1}/{k_2}$, которые входят в формулы $(1)$.

Коэффициент наклона прямой, рассчитанный по методу наименьших квадратов, оказался равным

Ответ: \begin{equation}
a = 0.865 \pm 0.08
\tag{2}\end{equation}В соответствии с формулой $(1)$ он равен отношению коэффициентов ${k_1}/{k_2}$. Это значение будет использовано в дальнейших расчетах.

A4 ^2.50

Запишите условия равновесия жидкостей в этом случае. Получите уравнение, связывающее длины столбиков воды, масла и их плотности. Это уравнение можно привести к виду
\begin{equation}
al_1 + bl_2 = F(\Delta l)
\tag{2}
\end{equation}где $a$, $b$ – уже известные коэффициенты, $F(\Delta l) $ – некоторая простая функция от длины столбика масла. Получите уравнение вида $(2)$, так как оно позволяет достаточно просто определить плотность масла по экспериментальным данным.

В состоянии равновесия суммарные давления жидкостей на нижнем уровне трубок будут равны, что выражается уравнением
\begin{equation}
\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l,
\tag{3}\end{equation}
здесь $\Delta l$ -- длина столбика масла.

Это уравнение легко преобразуется к виду, указанному в условии, если обе его части разделить на $k_2\rho_0$:
\begin{equation}
\rho_0 (h_{10} + k_1l_1) = \rho_0 (h_{20} + k_2l_2) + k_2\rho_1\Delta l \implies \end{equation}

Ответ: \begin{equation}\frac{k_1}{k_2}\, l_1 - l_2 =\frac{\rho_1}{\rho_0}\Delta l + \frac{h_{20} - h_{10}}{k_2}
\tag{4}\end{equation}

Теперь, если построить зависимость величины $z ={k_1}l_1 / {k_2} -l_2$ от высоты столбика масла $\Delta l$ , то эта зависимость должна быть линейна, причем коэффициент наклона прямой равен отношению плотностей масла и воды.

A5 ^2.00 Постепенно добавляя масло в одну трубку, проведите измерения величин $l_1$, $l_2$, $\Delta l$.

Результаты проведенных измерений показаны в таблице ниже. График зависимости показан на рисунке.

Ответ:

$l_1, ~мм$	$l_2, ~мм$	$\Delta l, ~мм$	$z, ~мм$
77	69	0	-2.40
100	44	52	42.50
115	27	83	72.48
135	6	126	110.78
150	-14	164	143.75
167	-32	194	176.46

Ответ:

A6 ^1.00 Используя полученное уравнение $(2)$ и экспериментальные данные определите плотность масла.

Коэффициент наклона данного графика (рассчитанный по МНК) равен
\begin{equation}
a_1= \frac{\rho_1}{\rho_0} = 0.91 \pm 0.03
\tag{5}\end{equation}Следовательно, плотность масла равна

Ответ: \begin{equation}
\rho_1 = a_1 \rho_0 = (0.91 \pm 0.03)\cdot10^3~{кг}/{м^3}
\tag{6}\end{equation}

Вода и масло

Решение