1  ^?? Найдите максимальную массу $M$ мухи, которая, попав в паутину, не порвет ее, если скорость мухи $v=2$~м/с. Считайте, что муха попадет в центр паутины перпендикулярно ее плоскости.

При попадании мухи в центр паутины перпендикулярно ее плоскости будут растягиваться только радиальные нити. Из закона Гука находим их начальное относительное удлинение:
$$
\varepsilon_{0}=\frac{F_{0}}{E S},
$$
где $S=\pi r^{2}$ - площадь поперечного сечения нити паутины. Максимальную массу $M$ мухи найдем из условия, что муха остановилась, когда натяжение паутины достигло предельного значения. Энергия упругой дефформации 6 различных нитей при относительном удлинении $\varepsilon$ имеет вид
$$
W=6 \cdot \frac{E \varepsilon^{2}}{2} \cdot S l.
$$
Напомним, что $E \varepsilon^{2} / 2$ имеет смысл плотности энергии деформации. Из закона сохранения энергии:
$$
\frac{M v^{2}}{2}+6 \cdot \frac{E \varepsilon_{0}^{2}}{2} \cdot S l=6 \cdot \frac{E \varepsilon_{\max }^{2}}{2} \cdot S l,
$$
получим
$$
M=\frac{6 E S l}{v^{2}}\left(\varepsilon_{\max }^{2}-\varepsilon_{0}^{2}\right)=\frac{6 \pi r^{2} l E}{v^{2}}\left(\varepsilon_{\max }^{2}-\frac{F_{0}^{2}}{\pi^{2} r^{4} E^{2}}\right) \approx 1.3~г
$$

2  ^?? В центр паутины попалась муха массой $m=0.1$~г. Найдите период $T$ малых колебаний мухи вдоль перпендикуляра к плоскости паутины. Попав в паутину, махать крыльями муха не может.

При малых колебаниях можно пренеберечь возникающим переменным удлинением радиальных нитей по сравнению с начальным $\varepsilon_{0}$, так как по теореме Пифагора это удлинение будут порядка второй степени малого смещения $x$ мухи (перпендикулярного плоскости паутины). Возвращающая сила $F$ создается проекциями 6 радиальных сил $F_{0}$ на направление колебаний:
$$
F \approx-6 \cdot F_{0} \cdot \frac{x}{l^{2}+x^{2}} \approx-\frac{6 F_{0}}{l} \cdot x.
$$
Таким образом, эффективная жесткость $k=6 F_{0} / l$. А период колебаний
$$
T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{m l}{6 F_{0}}} \approx 0.22~c .
$$