Результаты измерений зависимости потенциала $\varphi(x)$ от расстояния $x$ до положительного электрода при двух различных расстояниях между электродами $l$ представлены в таблице. Графики полученных зависимостей представлены на рисунке ниже.

Ответ:

Рис. 2.

Полученные зависимости являются линейными, описываемыми функциями
\begin{equation}
\varphi (x) = ax+b
\tag{1}\end{equation}Коэффициенты этих зависимостей могут быть найдены различными способами, наиболее точный из которых – метод наименьших квадратов. Предельное значение $\varphi (x \rightarrow 0)$ отлично от нуля, и это значение показывает величину скачка потенциала на отрицательном электроде
\begin{equation}
\Delta\varphi _{(-)} =\varphi(0) =b
\tag{2}\end{equation}Второе предельное значение $\varphi (x \rightarrow l)$ отлично от напряжения источника $U_0$, в чем проявляется наличие скачка потенциала вблизи положительного электрода. Поэтому величина этого скачка равна
\begin{equation}
\Delta\varphi _{(+)} = U_0 - \varphi(l) =U_0-(al+b)
\tag{3}\end{equation}Аналогично, предельное значение $\varphi (x \rightarrow l)$ отлично от нуля, в чем проявляется наличие скачка потенциала вблизи отрицательного электрода.

В таблице ниже представлены расчеты по МНК параметров линейных зависимостей $(1)$ и их погрешностей, а также величины скачков потенциалов (и их погрешности), найденные по формулам $(2)$–$(3)$.

Постройте график полученной зависимости.

Радиус центрального электрода $r_0=1.2 ~мм$, радиус кольцевого электрода $R=6.5~ см$.

Результаты измерений зависимости потенциала от расстояния до центра центрального электрода представлены в таблице и на графике ниже.

Ответ:

Рис. 3.

Так как распределение токов является радиально симметричным, то зависимость плотности тока от расстояния до центральной точки будет обратно пропорциональной $j \propto{a}/{r}$. По закону  Ома такой же будет зависимость напряженности поля от расстояния $E={a}/{r}$ . Распределение потенциала можно найти, проинтегрировав выражение для напряженности по расстоянию 
  \[\Delta\varphi=-\int\limits_{r_0}^rE~\mathrm{d}r = -a \ln \frac{r}{r_0},\]то есть зависимость является логарифмической, приведенной в условии. Параметры этой зависимости определяются граничными условиями: 

• при $r=r_0$ ($r_0$ – радиус центрального электрода) потенциал равен $\varphi(r_0)=\Delta\varphi_{(-)}$);
• при $r=R$ ($R$ – радиус кольцевого электрода) потенциал равен $\varphi (R)=U_0-\Delta\varphi_{(+)}$).

Из этих условий следует, что исследуемая зависимость имеет вид
\begin{equation}
\varphi(r)=\Delta\varphi_{(-)}+\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})} \ln\frac{r}{r_0}
\tag{4}\end{equation}то есть параметры приведенной зависимости выражаются через характеристики системы следующим образом
\begin{equation}
A=\Delta\varphi_{(-)},\qquad B=\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})}.
\tag{5}\end{equation}По данным измерений в части A можно рассчитать численное значение параметра $A\approx 0.66B$, для расчета параметра $B$ необходимо знать эффективный радиус электрода.

Построим зависимость потенциала $\varphi$ от $\ln r$
\begin{equation}
\varphi=A'+B' \ln r
\tag{6}\end{equation} Для дальнейшего существенно, что измерено в миллиметрах.

 Погрешность в данном пункте оценивать не надо!

Сравнивая теоретическую зависимость с построенной по экспериментальным данным, находим, что они отличаются постоянным слагаемым
\begin{equation}
\varphi=A+B \ln\frac{r}{r_0}=A+B \ln r - B \ln r_0 =A'+B' \ln r.
\tag{7}\end{equation} Таким образом, связь между коэффициентами теоретической и экспериментальной зависимости выражается формулами
\begin{equation}
A'=A-B \ln r_0
,\qquad B'=B.
\tag{8}\end{equation}Из этих формул следует, что эффективный радиус электрода может быть найден по формуле

Можно также оценить значение эффективного радиуса с помощью значения коэффициента $B$, из его теоретического значения
\begin{equation}
B=\cfrac{(U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{\ln({R}/{r_0})} \implies r_0=R\exp \left (-\frac{U_0-\Delta\varphi_{(+)})-\Delta\varphi_{(-)}}{B}\right)\approx1.8 ~мм
\end{equation}
Однако, погрешность такого расчета заметно выше.

Измерения проведены при расстоянии между электродами равным $l=100 ~мм$ .
Результаты измерений зависимости потенциала $\varphi(x)$ между двумя «точечными» электродами от расстояния до положительного электрода представлены в таблице и на графике ниже.

Ответ:

Рассчитайте численные значения коэффициентов $A$, $B$ в формуле $(2)$, используя данные, полученные в частях A и B.

Формула
\begin{equation}
\varphi (x)=A+B \ln\left(\frac{x}{l-x}\right),
\tag{10}\end{equation}Следует непосредственно из полученной формулы (4) и принципа суперпозиции.

Для определения коэффициентов в этой формуле запишем значения потенциалов на поверхности электродов
\begin{equation}
\varphi (r_0)=\Delta\varphi_{(-)}=A-B \ln\frac{r}{r_0}
\\\varphi(l-r_0)=U-\Delta\varphi_{(+)}= A+B\ln\frac{r_0}{l-r_0}
\tag{11}\end{equation}Из которых элементарно находим

Для доказательства применимости формулы $(10)$, построим график зависимости потенциала $\varphi$ от величины $\ln\left(\dfrac{x}{l-x} \right).$

Расчет параметров этой зависимости по МНК приводит к следующим значениям коэффициентов этой зависимости