Пусть $V_{X}$ - объем, занимаемый чистым веществом $X$ (слева от поршней), $V_{Y}$ - объем, занимаемый чистым веществом $Y$ (справа от поршней), $V_{X Y}$ - объем смеси газов $X$ и $Y$. При этом газ $X$ равномерно распределен по объему $V_{1}=V_{X}+V_{X Y}$, газ $Y$ - по объему $V_{2}=V_{X Y}+V_{Y}$. На левый поршень со стороны газов действует сила давления $p_{2}=\nu_{Y} R T / V_{2}$ газа $Y$, на правый поршень - сила давления $p_{1}=\nu_{X} R T / V_{1}$ газа $X$. Следовательно, при малом раздвижении поршней газы совершат работу
$$
\Delta A=p_{1} \Delta V_{1}+p_{2} \Delta V_{2}=\nu_{X} R T \frac{\Delta V_{1}}{V_{1}}+\nu_{Y} R T \frac{\Delta V_{2}}{V_{2}}.
$$
Суммарная работа, совершаемая газами, представляется в виде суммы
$$
A=\sum \Delta A=\nu_{X} R T \sum \frac{\Delta V_{1}}{V_{1}}+\nu_{Y} R T \sum \frac{\Delta V_{2}}{V_{2}}.
$$
Каждая сумма равна площади соответствующей криволинейной трапеции:
$$
\sum \frac{\Delta V_{1}}{V_{1}}=S\left(V_{01}, V_{1}^{\prime}\right), \quad \sum \frac{\Delta V_{2}}{V_{2}}=S\left(V_{02}, V_{2}^{\prime}\right),
$$
где $V_{01}, V_{02}$ - начальные значения объемов $V_{1}$, $V_{2}$, а $V_{1}^{\prime}$, $V_{2}^{\prime}$ - их конечные значения. Отсюда
$$
A=\nu_{X} R T \ln \frac{V_{1}^{\prime}}{V_{01}}+\nu_{Y} R T \ln \frac{V_{2}^{\prime}}{V_{02}}.
$$
Учтем, что
$$
V_{10}=V_{X 0}, \quad V_{20}=V_{Y 0}, \quad V_{1}^{\prime}=V_{2}^{\prime}=V_{X 0}+V_{Y 0}.
$$
Отсюда получим
$$
A=\nu_{X} R T \ln \frac{V_{X 0}+V_{Y 0}}{V_{X 0}}+\nu_{Y} R T \ln \frac{V_{X 0}+V_{Y 0}}{V_{Y 0}}.
$$