Поверхностное натяжение мыльной пленки создаёт в пузыре дополнительное давление, равное
$$
\Delta p=2 \cdot \frac{2 \sigma}{R}=\frac{4 \sigma}{R},
$$
так как у пузыря две поверхности. Работа, совершаемая мыльной пленкой, идет на сообщение кинетической энергии вытекающему воздуху:
$$
\Delta p \Delta V=\frac{\Delta m v^{2}}{2},
$$
где $\Delta V$ - уменьшение объема мыльного пузыря, $\Delta m$ - масса вытесненного воздуха, $\Delta v$ - скорость движения воздуха в трубке. Отсюда
$$
\frac{\rho v^{2}}{2}=\Delta p, \quad v=\sqrt{\frac{2 \Delta p}{\rho}},
$$
где $\rho=\Delta m / \Delta V$ - плотность воздуха. Скорость уменьшения объема $V$ пузыря
$$
\frac{d V}{d t}=v S,
$$
где $S=\pi r^{2}$ - площадь поперечного сечения трубки. Подставив в последнее уравнение выражение для объема пузыря $V=\frac{4}{3} \pi R^{3}$, а также выражения для $\Delta p$ и $v$, получим
$$
4 \pi R^{2} \frac{d R}{d t}=\sqrt{\frac{8 \sigma}{\rho R}} \cdot \pi r^{2}, \quad \text { откуда } \quad u=\frac{d R}{d t}=\frac{r^{2}}{R^{5 / 2}} \sqrt{\frac{\sigma}{2 \rho}}.
$$