1  ^?? Найдите фокусное расстояние линзы $F$. Выразите ответ через $l$, $l_1$, $l_2$ и $s$.

В первом положении источника расстояния от него до $H$ и от $H'$ до изображения связаны равенством:\[\frac{1}{u_1}+\frac{1}{v_1}=\frac{1}{F}.\]Размер изображения при этом равен\[l_1=lv_1/u_1\implies u_1=F\left(1+l/l_1\right).\]Во втором положении источника запишем аналогично:\[u_2=F\left(1+l/l_2\right).\]Расстояние между положениями источника\[s\equiv u_2-u_1=F\left(l_2^{-1}-l_1^{-1}\right).\]Таким образом, фокусное расстояние:

2  ^?? Найдите расстояние до источника $u_1$ в первом случае. Выразите ответ через $l$, $l_1$, $l_2$ и $s$.

Подставляя результат предыдущего пункта в выражение для $u_1$, получим:

3  ^?? Рассматривая в такой системе точку $H$ как источник, а точку $H'$ – как изображение, найдите расстояния $HO_1$ и $H'O_2$.

Для каждой линзы выполняется ф.т.л.:\[u_1^{-1}+v_1^{-1}=f_1^{-1},\qquad u_2^{-1}+v_2^{-1}=f_2^{-1}.\]Поперечные увеличения для каждой из линз равны:\[m_1=-v_1/u_1,\qquad m_2=-v_2/m_2.\]Увеличение системы двух линз:\[m^{-1}=\frac{1}{m_1}\frac{1}{m_2}=\left(1-u_1/f_1\right)\left(1-u_2/f_2\right).\]Учитывая расстояние $d$ между линзами, $u_2=d-v_1=d-\frac{u_1f_1}{u_1-f_1}$. Объединяя эти равенства, получим:\[m^{-1}=\left(1-\frac{u_1}{f_1}\right)\left(1-\frac{d-\frac{u_1f_1}{u_1-f_1}}{f_2}\right)=1-\frac{d}{f_2}-u_1\left(\frac{1}{f_1}+\frac{1}{f_2}-\frac{d}{f_1f_2}\right).\]Учитывая, что $m=1$, а $HO_1=u_1$,

Поскольку $H'O_2=v_2$,

4  ^?? Найдите эквивалентное фокусное расстояние системы $F$.

Если расположить источник на бесконечности, изображение должно сформироваться на расстоянии $F$ от плоскости $H'$. Расстояние от точки $O_2$ до изображения в этом случае будет равно\[v_{F}=\frac{f_2(d-f_1)}{d-f_1-f_2}.\]Комбинируя с результатом предыдущего пункта, получим: