1  ^?? Найдите выражение для $T_c$ и угловую частоту $\omega_0$ малых колебаний поршня вблизи положения равновесия $\theta=0$.

Уравнение движения поршня:\[mr\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dr^2}=mg\sin\theta-\frac{nRT}{r(\pi/2-\theta)}+\frac{nRT}{r(\pi/2+\theta)}.\]При $\theta\ll 1$ можно раскрыть это выражение по малости как\[\sin\theta\approx\theta-\theta^3/6,\quad\frac{1}{\pi/2\pm\theta}\approx\frac{2}{\pi}\mp\frac{4}{\pi^2}\theta+\frac{8}{\pi^3}\theta^2\mp\frac{16}{\pi^4}\theta^3\implies \frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dr^2}=\frac{1}{r}\left(g-\frac{8nRT}{\pi^2rm}\right)\theta.\]Рассматриваемое положение будет устойчивым, если $g-\frac{8nRT}{\pi^2rm} < 0\implies T > \frac{\pi^2 mgr}{8nR}\implies $

2  ^?? Будет ли положение $\theta=0$ устойчивым при $T=T_c$?

При $T=T_c$ уравнение малых колебаний поршня имеет вид:\[\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dr^2}=-\frac{24+\pi^2}{6\pi^2}\frac{g}{r}\theta^3.\]Таким образом, сила, действующая на поршень, является возвращающей, то есть:

3  ^?? Найдите неявное уравнение для положения устойчивого равновесия $\theta_0$ при $T < T_c$. Получите приближённое выражение (первое нетривиальное слагаемое в разложении по $T-T_c$) при температурах, немного меньших $T_c$ (т.е. $T_c-T\ll T_c$).

Условие равновесия поршня\[mg\sin\theta_0-\frac{nRT}{r(\pi/2-\theta_0)}+\frac{nRT}{r(\pi/2+\theta_0)}=0\implies\]

При стремлении $\theta_0\to0$ равенство можно переписать в виде\[\frac{T}{T_c}=1-\frac{24+\pi^2}{6\pi^2}\theta_0^2\implies\]

4  ^?? Найдите зависимость угловой частоты малых колебаний $\omega_0$ от $\theta_0$ в случае $T < T_c$. Ответ должен содержать $\theta_0$ и не должен содержать $T$.

Раскрытие по малости в окрестности положения равновесия:\[\sin(\theta_0+\theta)\approx\sin\theta_0+\theta\cos\theta_0,\quad\frac{1}{\pi/2\pm(\theta_0+\theta)}=\frac{1}{\pi/2-\theta_0}\mp\frac{\theta}{(\pi/2-\theta_0)^2}.\]Это позволяет переписать уравнение движения поршня в окрестности положения равновесия в виде:\[\frac{\mathrm d^2\theta}{\mathrm dr^2}=\frac{g\cos\theta_0}{r}\left[1-\frac{\operatorname{tg}\theta_0}{\theta_0}\frac{\pi^2+4\theta_0^2}{\pi^2-4\theta_0^2}\right]\theta\implies\]

5  ^?? Получите упрощённые выражения для зависимости $\omega_0$ от температуры $T$ в случаях $T_c-T\ll T_c$ и $T-T_c\ll T_c$.

Раскрывая полученные ранее выражения по малости $|T-T_c|$, получим:

6  ^?? Найдите угловую скорость поршня в положении $\theta$.

Проинтегрируем силу, действующую на поршень:\[\frac{1}{2}mr\dot{\theta}^2=\displaystyle\int\limits_{0}^{\theta}\left[mg\sin\xi-\frac{nRT}{r(\pi/2-\xi)}+\frac{nRT}{r(\pi/2+\xi)}\right]~\mathrm d\xi=mg(1-\cos\theta)+\frac{nRT}{r}\ln\left(1-\frac{4\theta^2}{\pi^2}\right).\]Итого, угловая скорость поршня: